Ecuaciones, inecuaciones y sistemas no lineales – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: el precio del viaje de fin de curso

La clase quiere alquilar un autobús que cuesta 900 € para el viaje de fin de curso. El delegado observa que si en lugar de \(x\) alumnos se apuntasen 6 más, cada uno pagaría 5 € menos. Para saber cuántos van, hay que resolver \(\frac{900}{x}-\frac{900}{x+6}=5\), una ecuación racional. Al quitar denominadores aparece \(x^2+6x-1\,080=0\), una ecuación de segundo grado con solución \(x=30\). En la vida real aparecen muchas ecuaciones de este tipo: con fracciones, con raíces, de grado mayor que 2, o sistemas en los que las incógnitas se multiplican. También aparecen desigualdades: un beneficio que debe ser positivo, una altura que debe superar un valor, un presupuesto que no se puede pasar. En este tema aprenderás a factorizar polinomios, a resolver ecuaciones polinómicas, racionales e irracionales, sistemas no lineales e inecuaciones, comprobando siempre que las soluciones tienen sentido.

Observación

Las de primer grado se resuelven como ecuaciones, pero al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte la desigualdad. Para las de grado superior o racionales: (1) se pasa todo a un miembro y se compara con 0; (2) se hallan las raíces del numerador y del denominador; (3) se estudia el signo en cada intervalo (tabla de signos); (4) se escribe la solución, con corchete solo si el extremo anula el numerador y la desigualdad no es estricta. Los ceros del denominador nunca se incluyen.

Observación: interpretación geométrica

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es encontrar los puntos comunes de dos curvas. Una recta y una parábola pueden cortarse en 0, 1 o 2 puntos; una recta y una circunferencia, también; dos parábolas, hasta en 4 puntos. Los métodos son los mismos que en los sistemas lineales: sustitución (el más habitual), igualación y reducción, que funciona bien cuando las incógnitas aparecen al cuadrado en las dos ecuaciones.

¿Sabías que? Ruffini y las ecuaciones imposibles

Paolo Ruffini, médico y matemático italiano, publicó en 1804 su método para dividir entre \(x-a\). Pero es más famoso por haber afirmado, antes que nadie, que no existe una fórmula con raíces para resolver todas las ecuaciones de quinto grado. Su demostración tenía lagunas, y fue el noruego Niels Abel quien la completó en 1824. Por eso hoy hablamos del teorema de Abel-Ruffini.