Funciones y ecuaciones trigonométricas – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Propiedad

Las funciones \(y=\operatorname{sen}x\) y \(y=\cos x\) están definidas en todo \(\mathbb{R}\), tienen recorrido \([-1,1]\) y son periódicas de periodo \(2\pi\): se repiten cada \(2\pi\). El seno es impar (simétrico respecto del origen) y el coseno es par (simétrico respecto del eje \(Y\)). La función \(y=\tan x\) tiene recorrido \(\mathbb{R}\), periodo \(\pi\) y asíntotas verticales en \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), donde no está definida.

Propiedad

Para \(y=A\operatorname{sen}(Bx+C)+D\) (lo mismo con el coseno): la amplitud es \(|A|\); el periodo es \(\frac{2\pi}{|B|}\); el desfase es \(-\frac{C}{B}\) (desplazamiento horizontal); y \(D\) desplaza verticalmente, con lo que el recorrido es \([D-|A|,D+|A|]\).

Propiedad

Resolver una ecuación trigonométrica es hallar los ángulos que la cumplen. Como las funciones son periódicas, hay infinitas soluciones, que se expresan en un intervalo (por ejemplo \([0,2\pi)\)) o como solución general sumando \(2k\pi\) (o \(k\pi\) para la tangente), con \(k\in\mathbb{Z}\).

Propiedad: ecuaciones trigonométricas

• \(\operatorname{sen}x=a\) (\(|a|\le1\)) tiene dos soluciones por vuelta: \(x\) y \(\pi-x\). Para \(\operatorname{sen}x=\frac12\): \(x=\frac{\pi}{6}\) o \(x=\frac{5\pi}{6}\).
• \(\cos x=a\) tiene dos soluciones: \(x\) y \(2\pi-x\). Para \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\): \(x=\frac{3\pi}{4}\) o \(\frac{5\pi}{4}\).
• \(\tan x=a\) tiene dos soluciones por vuelta: \(x\) y \(x+\pi\). Para \(\tan x=\sqrt3\): \(\frac{\pi}{3}\) y \(\frac{4\pi}{3}\).

Propiedad

Ecuaciones con una sola razón. Con un cambio de variable se reducen a ecuaciones algebraicas. Ejemplo 2. \(2\operatorname{sen}^2x-\operatorname{sen}x-1=0\): con \(t=\operatorname{sen}x\), \(2t^2-t-1=0\), de donde \(t=1\) o \(t=-\frac12\). Entonces \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{7\pi}{6}\) o \(x=\frac{11\pi}{6}\).

Propiedad

Con razones distintas. Se usan identidades para dejar una sola razón o para factorizar. Ejemplo 3. \(\operatorname{sen}2x=\operatorname{sen}x\Rightarrow2\operatorname{sen}x\cos x-\operatorname{sen}x=0\Rightarrow\operatorname{sen}x(2\cos x-1)=0\). Entonces \(\operatorname{sen}x=0\) (\(x=0,\pi\)) o \(\cos x=\frac12\) (\(x=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)). No se debe dividir entre \(\operatorname{sen}x\), porque se perderían soluciones.

Propiedad

Ángulo múltiple. Si aparece \(2x\) se resuelve para \(2x\) en un intervalo doble y luego se divide: \(\operatorname{sen}2x=\frac{\sqrt3}{2}\) da \(2x=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}\), y por tanto \(x=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\).

Propiedad: tabla de valores notables

En la circunferencia unidad, el punto que corresponde al ángulo \(x\) tiene coordenadas \((\cos x,\operatorname{sen}x)\). Los ángulos que debes recordar son \(0\), \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\) y \(\frac{\pi}{2}\), con senos \(0,\ \frac12,\ \frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2},\ 1\) y los cosenos en orden contrario. Los demás ángulos de cada cuadrante se obtienen por simetría: \(\operatorname{sen}(\pi-x)=\operatorname{sen}x\), \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) y \(\operatorname{sen}(x+\pi)=-\operatorname{sen}x\).