Funciones exponenciales y logarítmicas – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Buscamos el exponente en cada caso. \(3^5=243\), así que \(\log_3243=5\). \(2^{-4}=\frac1{16}\), así que \(\log_2\frac1{16}=-4\). Para \(\log_48\) escribimos ambos como potencias de 2: \(4^{x}=2^{2x}=2^3\), luego \(x=\frac32\). Comprobación: \(4^{3/2}=(\sqrt4)^3=8\).
   2. Descomponemos: \(18=2\cdot3^2\), luego \(\log18=\log2+2\log3=0{,}301+0{,}954=1{,}255\). \(\frac43=\frac{2^2}{3}\), luego \(\log\frac43=2\log2-\log3=0{,}602-0{,}477=0{,}125\). Comprobación: \(10^{1{,}255}\approx18\).
   3. Convertimos los coeficientes en exponentes y aplicamos producto y cociente: \(\ln a^3-\ln b^2+\ln c=\ln\dfrac{a^3c}{b^2}\). La expresión tiene sentido para \(a\), \(b\) y \(c\) positivos.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Escribimos 8 como potencia de 2: \(2^{x-1}=2^3\). Igualando exponentes, \(x-1=3\), luego \(x=4\). Comprobación: \(2^{4-1}=8\).
   2. Como \(9^x=(3^x)^2\), hacemos el cambio \(t=3^x\): \(t^2-10t+9=0\), con soluciones \(t=1\) y \(t=9\) (ambas positivas, así que valen). Deshacemos el cambio: \(3^x=1\) da \(x=0\) y \(3^x=9\) da \(x=2\). Comprobación con \(x=2\): \(81-10\cdot9+9=0\).
   3. 40 no es potencia de 7, así que tomamos logaritmos: \(x\ln7=\ln40\), luego \(x=\dfrac{\ln40}{\ln7}=\dfrac{3{,}6889}{1{,}9459}\approx1{,}8957\). Comprobación: \(7^{1{,}8957}\approx40\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(x(x+21)=100\Rightarrow x^2+21x-100=0\Rightarrow x=4\) o \(x=-25\). Se descarta \(-25\) (argumento negativo). Solución: \(x=4\). Comprobación: \(\log4+\log25=\log100=2\). Aplicamos la propiedad del producto, \(\log x+\log(x+21)=\log[x(x+21)]\), y la definición de logaritmo decimal: si \(\log A=2\), entonces \(A=10^2=100\). Las raíces salen de \(x=\frac{-21\pm29}{2}\).
   2. \(x^2=4x-3\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1\) o \(x=3\). Las dos dan argumentos positivos (\(1\gt 0\) y \(4\cdot1-3=1\gt 0\); \(3\gt 0\) y \(9\gt 0\)): son válidas. Primero escribimos \(2\ln x=\ln x^2\) y, como el logaritmo es inyectivo, igualamos los argumentos. Comprobación con \(x=3\): \(2\ln3=\ln9\) y \(\ln(12-3)=\ln9\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. El argumento del logaritmo debe ser positivo: \(x-1\gt 0\), así que el dominio es \((1,+\infty)\). Corte con el eje \(X\): \(f(x)=0\) significa \(x-1=2^0=1\), luego \(x=2\); el punto es \((2,0)\).
   2. \(f(3)=\log_22=1\), \(f(5)=\log_24=2\), \(f(9)=\log_28=3\): al duplicar \(x-1\) la función aumenta 1. Como \(\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty\), la recta \(x=1\) es asíntota vertical.
   3. Despejamos \(x\): \(y=\log_2(x-1)\) equivale a \(x-1=2^y\), luego \(x=2^y+1\). Intercambiando las variables, \(f^{-1}(x)=2^x+1\). Comprobación: \(f^{-1}(1)=3\) y \(f(3)=1\).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. Perder un 10 % equivale a conservar el 90 %, es decir, multiplicar por 0,9 cada año: \(V(t)=1\,200\cdot0{,}9^t\). A los 3 años, \(V(3)=1\,200\cdot0{,}729=874{,}80\) €.
   2. Planteamos \(1\,200\cdot0{,}9^t=600\), es decir, \(0{,}9^t=0{,}5\). Tomando logaritmos: \(t=\dfrac{\ln0{,}5}{\ln0{,}9}\approx6{,}58\) años.
   3. Planteamos \(1\,200\cdot0{,}9^t\lt 200\), es decir, \(0{,}9^t\lt \frac16\). Tomando logaritmos y dividiendo entre \(\ln0{,}9\lt 0\) (cambia el sentido): \(t\gt \dfrac{\ln(1/6)}{\ln0{,}9}\approx17{,}01\). Comprobación: \(V(17)\approx200{,}1\) € y \(V(18)\approx180{,}1\) €. A partir del año 18 ya no podrá venderla allí.

Total : 20 puntos