Números complejos – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Sumamos y restamos partes reales e imaginarias por separado: \(z_1+z_2=(2+1)+(-3+4)i=3+i\) y \(z_1-z_2=(2-1)+(-3-4)i=1-7i\). Para el producto, multiplicamos como polinomios: \(z_1z_2=2+8i-3i-12i^2=2+5i+12=14+5i\). Se usa que \(i^2=-1\).
   2. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, \(1+i\): \(\dfrac{(5+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{5+5i+i+i^2}{1+1}=\dfrac{4+6i}{2}=2+3i\). Comprobación: \((2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=5+i\).
   3. Las potencias de \(i\) se repiten cada 4. Como \(42=4\cdot10+2\), \(i^{42}=i^2=-1\). Los restos 0, 1, 2 y 3 corresponden a \(1\), \(i\), \(-1\) y \(-i\).

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. Aplicamos la fórmula general. El discriminante es \(36-52=-16\), negativo, así que las soluciones son complejas conjugadas: \(x=\dfrac{6\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{6\pm4i}{2}=3\pm2i\). Comprobación con \(3+2i\): \((3+2i)^2-6(3+2i)+13=5+12i-18-12i+13=0\).
   2. Suma: \((3+2i)+(3-2i)=6\), que coincide con \(-\frac ba=6\). Producto: es una suma por diferencia, \((3+2i)(3-2i)=9-4i^2=9+4=13\), que coincide con \(\frac ca=13\). Las relaciones entre coeficientes y raíces se cumplen también con soluciones complejas. Las soluciones complejas de una ecuación con coeficientes reales aparecen siempre en pares conjugados.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Módulo: \(|z|=\sqrt{(-2\sqrt3)^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4\). El punto tiene parte real negativa e imaginaria positiva, así que está en el segundo cuadrante, y \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{-2\sqrt3}=-\frac{1}{\sqrt3}\): \(\alpha=180^\circ-30^\circ=150^\circ\). Por tanto, \(z=4_{150^\circ}\). Comprobación: \(4(\cos150^\circ+i\operatorname{sen}150^\circ)=-2\sqrt3+2i\).
   2. Multiplicamos módulos y sumamos argumentos: \(4_{150^\circ}\cdot3_{30^\circ}=12_{180^\circ}\), que en binómica es \(-12\). El resultado es un número real negativo porque el argumento es \(180^\circ\).
   3. Por De Moivre: \((4_{150^\circ})^3=64_{450^\circ}=64_{90^\circ}\), ya que \(450^\circ-360^\circ=90^\circ\). En binómica, \(64i\). Se eleva el módulo al cubo y se triplica el argumento.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(-27i\) está sobre el semieje imaginario negativo: módulo 27 y argumento \(270^\circ\), es decir, \(-27i=27_{270^\circ}\).
   2. El módulo de las raíces es \(\sqrt[3]{27}=3\) y los argumentos son \(\frac{270^\circ+360^\circ k}{3}\) con \(k=0,1,2\): \(90^\circ\), \(210^\circ\) y \(330^\circ\). Las raíces son \(3_{90^\circ}\), \(3_{210^\circ}\) y \(3_{330^\circ}\).
   3. \(3_{90^\circ}=3i\); \(3_{210^\circ}=-\frac{3\sqrt3}{2}-\frac32i\); \(3_{330^\circ}=\frac{3\sqrt3}{2}-\frac32i\). Están a la misma distancia del origen y separadas \(120^\circ\): forman un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio 3.

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(|D|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\approx3{,}16\). El módulo es la distancia al origen: el dron está a unos 31,6 m del escenario.
   2. Girar \(45^\circ\) es multiplicar por \(1_{45^\circ}=\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2i\): \((3+i)\cdot\frac{\sqrt2}{2}(1+i)=\frac{\sqrt2}{2}(3+3i+i+i^2)=\frac{\sqrt2}2(2+4i)=\sqrt2+2\sqrt2\,i\approx1{,}41+2{,}83i\). El módulo sigue siendo \(\sqrt{10}\), porque un giro no cambia la distancia.
   3. Sumamos el desplazamiento: \((\sqrt2-1)+(2\sqrt2+2)i\approx0{,}414+4{,}828i\). Distancia al escenario: \(\sqrt{0{,}414^2+4{,}828^2}\approx4{,}85\) unidades, es decir, unos 48,5 m. Con los valores exactos, el cuadrado del módulo es \((\sqrt2-1)^2+(2\sqrt2+2)^2=(3-2\sqrt2)+(12+8\sqrt2)=15+6\sqrt2\approx23{,}49\), cuya raíz es aproximadamente 4,85.

Total : 20 puntos