Números complejos – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: ejercicios para descargar en PDF

La unidad imaginaria es el número \(i\) que cumple \(i^2=-1\). Gracias a ella, las ecuaciones de segundo grado con discriminante negativo tienen solución.

1. Calcula \(i^2\), \(i^3\), \(i^4\) y \(i^5\). ¿Qué observas?
2. Calcula \(i^{27}\), \(i^{100}\) e \(i^{-1}\).
3. Resuelve \(x^2+9=0\).
4. Resuelve \(x^2-4x+13=0\).

Un número complejo se escribe \(z=a+bi\), con \(a\) (parte real) y \(b\) (parte imaginaria) números reales.

1. Para \(z=3-5i\), indica la parte real, la parte imaginaria, el opuesto y el conjugado.
2. Dado \(z=(a-2)+(a+3)i\), halla \(a\) para que \(z\) sea un número real.
3. Con el mismo \(z\), halla \(a\) para que sea imaginario puro.
4. Halla \(x\) e \(y\) reales para que \((x+2)+(2y-1)i=5+7i\).

Sean \(z_1=3+4i\) y \(z_2=1-2i\). Opera como con polinomios, recordando que \(i^2=-1\).

1. Calcula \(z_1+z_2\) y \(z_1-z_2\).
2. Calcula \(z_1\cdot z_2\).
3. Calcula \(z_1\cdot\bar z_1\). ¿Qué tipo de número se obtiene?
4. Calcula \((2+i)^3\).

Para dividir, se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador.

1. \(\dfrac{3+4i}{1-2i}\)
2. \(\dfrac{5}{2-i}\)
3. \(\dfrac{1+i}{1-i}\)
4. Calcula el inverso de \(z=4-3i\).

Cuando el discriminante es negativo, la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) (con coeficientes reales) tiene dos soluciones complejas conjugadas.

1. Resuelve \(x^2+2x+5=0\).
2. Comprueba que la suma de las soluciones es \(-\frac ba\) y el producto \(\frac ca\).
3. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean \(3+i\) y \(3-i\).
4. Resuelve \(x^4-16=0\) en el conjunto de los complejos.

Un complejo \(z=a+bi\) también se expresa por su módulo \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) y su argumento \(\alpha\), con \(\tan\alpha=\frac ba\), y se escribe \(r_\alpha\).

1. Escribe en forma polar \(z_1=1+\sqrt3\,i\) y \(z_2=-1+i\).
2. Escribe en forma polar \(z_3=-2-2i\) y \(z_4=-3i\).
3. Escribe en forma binómica \(4_{30^\circ}\) y \(5_{180^\circ}\).
4. Representa los cuatro primeros números en el plano complejo e indica el cuadrante de cada uno.

En un videojuego de plataformas, la posición de un personaje en la pantalla se guarda como un número complejo, con el centro de la pantalla en el origen. El programador sabe que multiplicar por \(1_{\alpha}\) gira el punto un ángulo \(\alpha\) alrededor del origen.

1. El personaje está en \(z=4+2i\). Calcula su posición tras girar \(90^\circ\), multiplicando por \(i\).
2. Calcula su posición tras girar \(180^\circ\). ¿Qué operación es?
3. Calcula su posición tras girar \(60^\circ\), con dos decimales.
4. Comprueba que el módulo no cambia en ninguno de los giros. ¿Por qué ocurre?

En forma polar: \(r_\alpha\cdot s_\beta=(rs)_{\alpha+\beta}\), \(\dfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\left(\dfrac rs\right)_{\alpha-\beta}\) y \((r_\alpha)^n=(r^n)_{n\alpha}\).

1. Calcula \(3_{40^\circ}\cdot2_{50^\circ}\) y exprésalo en forma binómica.
2. Calcula \(\dfrac{6_{150^\circ}}{3_{60^\circ}}\).
3. Calcula \((2_{30^\circ})^4\) en forma polar y binómica.
4. ¿Qué es más rápido para calcular \((1+i)^8\): la forma binómica o la polar? Hazlo de las dos maneras.

En los circuitos de corriente alterna, los ingenieros representan la resistencia de cada componente con un número complejo llamado impedancia, en ohmios (Ω). Un técnico de una empresa eléctrica de Tarragona trabaja con \(Z_1=3+4i\) y \(Z_2=6-8i\).

1. Calcula el módulo de cada impedancia.
2. En serie, la impedancia total es \(Z_1+Z_2\). Calcúlala y halla su módulo.
3. En paralelo, \(Z=\dfrac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}\). Calcula \(Z_1Z_2\).
4. Calcula la impedancia en paralelo en forma binómica y su módulo.

La fórmula \((r_\alpha)^n=(r^n)_{n\alpha}\) permite calcular potencias grandes sin desarrollar.

1. Calcula \((1+i)^{10}\).
2. Calcula \((1-i)^6\).
3. Calcula \((\sqrt3+i)^6\).
4. ¿Para qué valores naturales de \(n\) es \((1+i)^n\) un número real?

Una empresa de energía eólica de Navarra diseña el logotipo de su parque a partir de un aerogenerador de tres palas iguales, separadas \(120^\circ\). Si el centro del rotor es el origen y las puntas de las palas miden 2 unidades, sus posiciones son las raíces cúbicas de 8.

1. Escribe \(8\) en forma polar y aplica la regla de las raíces: \(\sqrt[3]{r_\alpha}=\left(\sqrt[3]r\right)_{\frac{\alpha+360^\circ k}{3}}\), con \(k=0,1,2\).
2. Escribe las tres raíces en forma binómica.
3. Comprueba que la suma de las tres raíces es 0 e interpreta el resultado.
4. Calcula la distancia entre las puntas de dos palas.

En un jardín de Córdoba se colocan cuatro fuentes alrededor de una central, situada en el origen. Las fuentes están en las raíces cuartas de \(-16\), y cada unidad equivale a 1 metro.

1. Escribe \(-16\) en forma polar.
2. Calcula las cuatro raíces en forma polar y en forma binómica.
3. Comprueba que forman un cuadrado y calcula su lado.
4. Calcula el área del cuadrado que forman.

En un taller de robótica del instituto, la pinza de un brazo mecánico está en el punto \(z=5_{30^\circ}\) (en decímetros). El brazo puede girar y estirarse: girar un ángulo \(\alpha\) y multiplicar la longitud por \(k\) equivale a multiplicar \(z\) por \(k_\alpha\).

1. Escribe la posición de la pinza en forma binómica.
2. El brazo gira \(45^\circ\) y se estira un 20 %. ¿Por qué complejo hay que multiplicar?
3. Calcula la nueva posición en forma polar y en forma binómica.
4. ¿Qué operación devuelve la pinza a su posición inicial?

Un velero sale del puerto de Palma. Primero navega 10 millas en la dirección que forma \(30^\circ\) con el este y después 8 millas en la dirección de \(120^\circ\). Cada tramo se representa con un complejo en forma polar.

1. Escribe los dos tramos en forma binómica.
2. Suma los dos tramos para obtener la posición final.
3. Calcula la distancia al puerto y el ángulo con el que habría que volver en línea recta.
4. ¿Por qué los dos tramos forman un ángulo recto? Compruébalo con los argumentos.

Las imágenes de fractales que se ven en carteles y fondos de pantalla se dibujan con números complejos. Para cada complejo \(c\) se construye la sucesión \(z_0=0\), \(z_{n+1}=z_n^2+c\). Si los módulos de los términos se mantienen acotados, el punto \(c\) pertenece al conjunto de Mandelbrot y se pinta de negro; si crecen sin límite, se pinta de color según la rapidez con que se escapan. Un ordenador repite este cálculo para millones de puntos.

1. Calcula \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) y \(z_4\) para \(c=i\).
2. ¿Qué observas en la sucesión? ¿Pertenece \(c=i\) al conjunto?
3. Calcula los cinco primeros términos para \(c=1\). ¿Pertenece al conjunto?
4. Para \(c=-1\), calcula los primeros términos y decide.
5. Explica por qué es imposible hacer este dibujo a mano con precisión.

Un taller de cerámica de Granada diseña baldosas en forma de hexágono regular para el patio de una casa. En el plano de diseño, el centro de la baldosa es el origen y un vértice está en \(z_0=2\) (en decímetros). Los demás vértices se obtienen girando \(60^\circ\) cada vez, es decir, multiplicando por \(1_{60^\circ}\). La diseñadora necesita las coordenadas exactas para programar la máquina de corte.

1. Escribe el número \(1_{60^\circ}\) en forma binómica.
2. Calcula los seis vértices en forma polar y en forma binómica.
3. Comprueba que el lado del hexágono mide 2 dm y calcula su perímetro.
4. Calcula el área de la baldosa, sabiendo que está formada por seis triángulos equiláteros.
5. ¿Cuántas baldosas hacen falta, como mínimo, para cubrir un patio de 12 m²? Justifica por qué hay que redondear hacia arriba.

En un parque de Zaragoza se quieren colocar tres farolas formando un triángulo equilátero. En el plano, con unidades de 10 m, dos farolas están en \(A=0\) y \(B=4+2i\). Para encontrar la tercera, \(C\), se gira el segmento \(AB\) un ángulo de \(60^\circ\) alrededor de \(A\).

1. Calcula la distancia entre \(A\) y \(B\) en metros.
2. Calcula \(C=(4+2i)\cdot1_{60^\circ}\) con tres decimales.
3. Comprueba que \(|C-B|=|B-A|\).
4. Si se girase \(-60^\circ\), se obtendría otra posición posible. Calcúlala y explica cuál conviene si \(C\) debe quedar por encima de la recta \(AB\).

En 1545 el médico y matemático Gerolamo Cardano publicó este problema: «Divide 10 en dos partes cuyo producto sea 40». Le pareció imposible, pero operó con las soluciones como si existieran y comprobó que funcionaban. Fue la primera vez que alguien trabajó con raíces de números negativos en un libro impreso.

1. Llama \(x\) y \(10-x\) a las dos partes y plantea la ecuación.
2. Resuélvela y escribe las soluciones como números complejos.
3. Comprueba que las dos partes suman 10 y que su producto es 40.
4. Calcula el valor máximo del producto \(x(10-x)\) con \(x\) real y explica por qué el problema no tiene solución real.
5. ¿Qué otro problema de la vida real conduce a soluciones complejas? Pon un ejemplo con un rectángulo.

Para resolver ecuaciones en las que aparece \(\bar z\), se escribe \(z=a+bi\) y se igualan partes reales e imaginarias.

1. Resuelve \((2+i)z=3+4i\).
2. Resuelve \(z+2\bar z=6-i\).
3. Halla los complejos \(z\) tales que \(z\cdot\bar z=25\) y \(\text{Re}(z)=3\).
4. Calcula el módulo y el argumento de las soluciones del apartado c).

Por la fórmula de De Moivre, \((\cos\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)^n=\cos n\alpha+i\,\text{sen}\,n\alpha\). Desarrollando la potencia como un binomio se obtienen fórmulas trigonométricas.

1. Con \(n=2\), desarrolla \((\cos\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)^2\) y deduce \(\cos2\alpha\) y \(\text{sen}\,2\alpha\).
2. Con \(n=3\), deduce que \(\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\).
3. Deduce también que \(\text{sen}\,3\alpha=3\,\text{sen}\,\alpha-4\,\text{sen}^3\alpha\).
4. Comprueba las dos fórmulas con \(\alpha=60^\circ\).