Vectores en el plano – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Extremo menos origen: \(\overrightarrow{AB}=(4-1,\,2+2)=(3,4)\). Su módulo es \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+16}=5\). El vector va de \(A\) a \(B\).
   2. \(3\overrightarrow{AB}=(9,12)\) y \(2\vec v=(-4,2)\). Restando coordenada a coordenada: \(3\overrightarrow{AB}-2\vec v=(9+4,\,12-2)=(13,10)\). Atención al signo al restar: \(-2\vec v=(4,-2)\).
   3. El punto medio es la media de las coordenadas: \(M=\left(\frac{1+4}2,\frac{-2+2}2\right)=\left(\frac52,0\right)\). Si \(A'\) es el simétrico de \(A\) respecto de \(B\), \(B\) es el punto medio de \(AA'\): \(A'=2B-A=(8-1,\,4+2)=(7,6)\). Comprobación: el punto medio de \(A(1,-2)\) y \(A'(7,6)\) es \((4,2)=B\).

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. Forman base si no son paralelos: \(1\cdot1-(-1)\cdot2=1+2=3\ne0\), así que sus coordenadas no son proporcionales y forman una base del plano. Equivale a que el determinante formado por sus coordenadas no sea cero.
   2. Buscamos \(x\), \(y\) con \(x(1,-1)+y(2,1)=(1,5)\): \(x+2y=1\) y \(-x+y=5\). Sumando las dos ecuaciones, \(3y=6\), luego \(y=2\) y \(x=1-4=-3\). Así \(\vec w=-3\vec a+2\vec b\). Comprobación: \((-3,3)+(4,2)=(1,5)\). Los coeficientes \(-3\) y \(2\) son las coordenadas de \(\vec w\) en la base \(\{\vec a,\vec b\}\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(\vec u\cdot\vec v=2\cdot(-1)+1\cdot3=-2+3=1\). Con \(|\vec u|=\sqrt5\) y \(|\vec v|=\sqrt{10}\): \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{50}}\approx0{,}1414\), luego \(\alpha\approx81{,}87^\circ\), casi perpendiculares. Aquí \(|\vec u|=\sqrt{4+1}\) y \(|\vec v|=\sqrt{1+9}\).
   2. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0: \(2m+1\cdot(-4)=0\), luego \(m=2\). Comprobación: \((2,-4)\cdot(2,1)=4-4=0\).
   3. La proyección escalar de \(\vec v\) sobre \(\vec u\) es \(\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|}=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\approx0{,}45\): positiva y pequeña, porque el ángulo es agudo y cercano a \(90^\circ\). Es la longitud con signo de la sombra de \(\vec v\) sobre la dirección de \(\vec u\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. En el paralelogramo \(ABCD\) los lados opuestos son vectores iguales: \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(5-4,\,6-3)=(1,3)\). Por tanto, \(D=A+\overrightarrow{BC}=(0,1)+(1,3)=(1,4)\). Comprobación: \(\overrightarrow{DC}=(5-1,\,6-4)=(4,2)=\overrightarrow{AB}\).
   2. Con \(\overrightarrow{AB}=(4,2)\) y \(\overrightarrow{AD}=(1,3)\), el área es el valor absoluto del determinante: \(S=|4\cdot3-2\cdot1|=10\) unidades cuadradas. Comprobación: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{20}\) y la altura sobre ese lado es \(\frac{10}{\sqrt{20}}=\sqrt5\), con \(\sqrt{20}\cdot\sqrt5=10\).
   3. Sería un rectángulo si los lados fueran perpendiculares. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=4\cdot1+2\cdot3=10\ne0\), así que no es un rectángulo. El ángulo entre los lados cumple \(\cos\alpha=\frac{10}{\sqrt{20}\sqrt{10}}\approx0{,}707\), es decir, \(\alpha=45^\circ\).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. Sumamos la velocidad de los motores \((0,3)\) y la de la marea \((2,0)\): \(\vec v=(2,3)\). Su módulo es \(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx3{,}61\) m/s, y el ángulo con la perpendicular cumple \(\tan\theta=\frac23\), es decir, \(\theta\approx33{,}69^\circ\).
   2. Solo la componente perpendicular, 3 m/s, sirve para cruzar: \(t=\frac{60}{3}=20\) s. Mientras tanto, la marea lo desplaza \(2\cdot20=40\) m.
   3. Para compensar la marea, la componente paralela de los motores debe ser \(-2\): la velocidad propia es \((-2,y)\) con módulo 3, así que \(4+y^2=9\) e \(y=\sqrt5\approx2{,}24\) m/s. Tarda \(\frac{60}{\sqrt5}\approx26{,}83\) s.

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