Números complejos – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   Criterios. Se valora operar con \(i^2=-1\), multiplicar por el conjugado al dividir y aplicar bien la fórmula de segundo grado.

   1. \(zw=2+4i-3i-6i^2=8+i\). Se multiplica término a término y se usa \(i^2=-1\): \(-6i^2=6\), luego \(2+6=8\) y \(4i-3i=i\).
   2. \(\frac{(2-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{2-4i-3i+6i^2}{5}=\frac{-4-7i}{5}=-\frac45-\frac75i\). Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de \(w\), \(1-2i\); el denominador queda \(|w|^2=1+4=5\). Comprobación: \(\left(-\frac45-\frac75i\right)(1+2i)=-\frac45-\frac85i-\frac75i+\frac{14}5=2-3i\).
   3. \(z=\frac{4\pm\sqrt{16-52}}{2}=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i\). El discriminante es \(-36\) y \(\sqrt{-36}=6i\). Las raíces son conjugadas, como corresponde a una ecuación de coeficientes reales; una de ellas es el propio \(z=2-3i\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el paso correcto a forma polar (cuadrante del argumento) y la aplicación de De Moivre.

   1. \(1-i=\sqrt2_{-\pi/4}\) y \(\sqrt3+i=2_{\pi/6}\). \(|1-i|=\sqrt2\) y el punto \((1,-1)\) está en el cuarto cuadrante, con argumento \(-\frac\pi4\). \(|\sqrt3+i|=\sqrt{3+1}=2\) y \(\tan\theta=\frac1{\sqrt3}\) en el primer cuadrante: \(\theta=\frac\pi6\).
   2. \((\sqrt2)^8_{-2\pi}=16\). De Moivre: módulo \((\sqrt2)^8=2^4=16\) y argumento \(8\cdot(-\frac\pi4)=-2\pi\), equivalente a 0. El resultado es real y positivo.
   3. \(2^6_{\pi}=-64\). Módulo \(2^6=64\) y argumento \(6\cdot\frac\pi6=\pi\): un número real negativo. En binómica habría que desarrollar una potencia sexta.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   Criterios. Se valora la fórmula de las raíces, su escritura en binómica y el cálculo del área del triángulo.

   1. \(-8=8_\pi\): \(2_{\pi/3}=1+\sqrt3i\), \(2_\pi=-2\) y \(2_{5\pi/3}=1-\sqrt3i\). Las raíces tienen módulo \(\sqrt[3]{8}=2\) y argumentos \(\frac{\pi+2k\pi}{3}\), con \(k=0,1,2\).
   2. Un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio 2. Las tres tienen módulo 2 y están separadas \(\frac{2\pi}{3}\).
   3. Lado \(2\sqrt3\) (distancia entre \(1\pm\sqrt3i\)); área \(\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3)^2=3\sqrt3\approx5{,}20\). Comprobación: el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio \(r\) es \(\frac{3\sqrt3}{4}r^2\), que con \(r=2\) da \(3\sqrt3\).

4. Solución del ejercicio 4 (5 puntos)

   Criterios. Se valora el cálculo de la impedancia, el desfase, la intensidad y la interpretación del condensador.

   1. \(Z=40+30i\), \(|Z|=50\,\Omega\). Módulo: \(\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{2500}\).
   2. \(\varphi=\arctan\frac{30}{40}\approx36{,}87^\circ\). Es el argumento de \(Z\).
   3. \(I=\frac{230}{50}=4{,}6\) A; \(\cos\varphi=0{,}8\) y \(P=230\cdot4{,}6\cdot0{,}8=846{,}4\) W. La intensidad es \(V/|Z|\).
   4. \(Z=40+30i-30i=40\,\Omega\), real; \(I=\frac{230}{40}=5{,}75\) A. El condensador anula el efecto de la bobina y el circuito se comporta como una resistencia pura. Es la situación de resonancia: la intensidad es máxima.

5. Solución del ejercicio 5 (3 puntos)

   Criterios. Se valora traducir la condición a coordenadas cartesianas y completar cuadrados.

   1. \((x-3)^2+y^2=4(x^2+y^2)\iff3x^2+6x+3y^2-9=0\iff x^2+2x+y^2=3\). Escribimos \(z=x+yi\): \(|z-3|^2=(x-3)^2+y^2\) y \(|z|^2=x^2+y^2\). Se elevan al cuadrado los dos miembros, que son no negativos; al desarrollar, \(x^2-6x+9+y^2=4x^2+4y^2\).
   2. \((x+1)^2+y^2=4\): circunferencia de centro \(-1\) y radio 2. Se completa el cuadrado: \(x^2+2x=(x+1)^2-1\). El centro es el punto \((-1,0)\), es decir, el complejo \(-1\). Comprobación: \(z=1\) cumple \(|1-3|=2=2|1|\).

Total : 20 puntos