Funciones y ecuaciones trigonométricas – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (3 puntos)

   1. Comparamos con \(y=A\operatorname{sen}(Bx+C)+D\): \(A=2\), \(B=3\), \(C=-\pi\), \(D=1\). La amplitud es \(|A|=2\); el periodo, \(\frac{2\pi}{3}\); el desfase, \(-\frac{C}{B}=\frac{\pi}{3}\), es decir, la gráfica se desplaza \(\frac{\pi}{3}\) a la derecha. Para el periodo se divide \(2\pi\) entre \(|B|\).
   2. El recorrido es \([D-|A|,\,D+|A|]=[1-2,\,1+2]=[-1,3]\). Además, \(f(0)=2\operatorname{sen}(-\pi)+1=2\cdot0+1=1\), que es el valor de la línea media. La función alcanza el máximo 3 cuando el seno vale 1, y el mínimo \(-1\) cuando el seno vale \(-1\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Despejamos: \(\operatorname{sen}x=\frac{\sqrt3}{2}\). El ángulo agudo es \(\frac{\pi}{3}\) y, como el seno también es positivo en el segundo cuadrante, la otra solución es \(\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\). Solución general: \(\frac{\pi}{3}+2k\pi\) o \(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\).
   2. El ángulo de referencia es \(\frac{\pi}{3}\) y el coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante: \(x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) y \(x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\).
   3. \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1\) y la tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante: \(x=\frac{3\pi}{4}\) y \(x=\frac{7\pi}{4}\) (separadas un periodo, \(\pi\)).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Con el cambio \(t=\operatorname{sen}x\) la ecuación queda \(2t^2+t-1=0\). Por la fórmula de segundo grado, \(t=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1\pm3}{4}\), es decir, \(t=\frac12\) o \(t=-1\). Ambos valores están en \([-1,1]\), así que los dos son válidos. El discriminante de la ecuación en \(t\) es 9, un cuadrado perfecto.
   2. Deshacemos el cambio. \(\operatorname{sen}x=\frac12\) da \(x=\frac{\pi}{6}\) y \(x=\frac{5\pi}{6}\). \(\operatorname{sen}x=-1\) da \(x=\frac{3\pi}{2}\). Hay tres soluciones en \([0,2\pi)\). Comprobación con \(\frac{3\pi}{2}\): \(2\cdot1-1-1=0\) ✓.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Sustituimos la identidad: \(2\operatorname{sen}x\cos x=\cos x\). Pasamos todo a un miembro y sacamos factor común: \(2\operatorname{sen}x\cos x-\cos x=0\), es decir, \(\cos x(2\operatorname{sen}x-1)=0\). Así queda un producto igualado a cero.
   2. Primer factor: \(\cos x=0\), con \(x=\frac{\pi}{2}\) y \(x=\frac{3\pi}{2}\). Segundo factor: \(\operatorname{sen}x=\frac12\), con \(x=\frac{\pi}{6}\) y \(x=\frac{5\pi}{6}\). Son cuatro soluciones. No se debe dividir entre \(\cos x\), porque se perderían las dos soluciones en las que vale 0.

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. Máximo \(22\) m, mínimo \(2\) m y periodo \(\frac{2\pi}{\pi/20}=40\) s. La altura oscila alrededor de 12 m (el centro de la noria) con amplitud 10 m, el radio: \(12+10=22\) y \(12-10=2\).
   2. \(h(10)=12-10\cos\frac{\pi}{2}=12\) m. A los 10 s ha dado un cuarto de vuelta y está a la altura del centro.
   3. \(12-10\cos\frac{\pi t}{20}=17\Rightarrow\cos\frac{\pi t}{20}=-\frac12\Rightarrow\frac{\pi t}{20}=\frac{2\pi}{3}\) o \(\frac{4\pi}{3}\). Entonces \(t=\frac{40}{3}\approx13{,}33\) s y \(t=\frac{80}{3}\approx26{,}67\) s. En la primera vuelta \(t\in[0,40)\), así que \(\frac{\pi t}{20}\in[0,2\pi)\); el coseno vale \(-\frac12\) en el segundo y en el tercer cuadrante.
   4. Está por encima de 17 m entre \(13{,}33\) s y \(26{,}67\) s, es decir, durante \(\frac{40}{3}\approx13{,}33\) s de cada vuelta. Entre esos instantes \(\cos\frac{\pi t}{20}\lt -\frac12\), de modo que \(h(t)\gt 17\): es un tercio de cada vuelta.

Total : 20 puntos