Funciones elementales – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (3 puntos)

   1. En \(f\) el radicando debe ser no negativo: \(3x+6\ge0\), es decir, \(x\ge-2\); dominio \([-2,+\infty)\). En \(g\) el denominador no puede anularse: \(x^2-9=0\) para \(x=\pm3\); dominio \(\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}\).
   2. El argumento del logaritmo debe ser positivo: \(x-2\gt 0\), luego \(x\gt 2\); dominio \((2,+\infty)\). Cuando \(x\to2^+\), \(\ln(x-2)\to-\infty\), así que hay asíntota vertical \(x=2\).
   3. Sustituimos: \(k(-1)=2^{-1}-1=\frac12-1=-\frac12\) y \(k(3)=2^3-1=8-1=7\). Recuerda que \(2^{-1}=\frac12\): un exponente negativo indica el inverso.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Abscisa del vértice: \(x_v=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{6}{2}=3\), y \(f(3)=9-18+5=-4\). Vértice \((3,-4)\); eje de simetría \(x=3\).
   2. Eje \(OY\): \(f(0)=5\), punto \((0,5)\). Eje \(OX\): \(x^2-6x+5=0\), con soluciones \(x=1\) y \(x=5\), puntos \((1,0)\) y \((5,0)\), simétricos respecto de \(x=3\).
   3. Como \(a=1\gt 0\), la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo: recorrido \([-4,+\infty)\). Decrece en \((-\infty,3)\) y crece en \((3,+\infty)\).
   4. \(f(x-1)\) desplaza la gráfica 1 unidad a la derecha y el \(+2\), 2 unidades hacia arriba. El vértice pasa de \((3,-4)\) a \((4,-2)\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. El denominador se anula en \(x=-2\), así que el dominio es \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). Como el numerador vale \(-7\ne0\) en ese punto, hay asíntota vertical \(x=-2\).
   2. Numerador y denominador tienen el mismo grado: \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac31=3\). Asíntota horizontal \(y=3\).
   3. Eje \(OY\): \(f(0)=\frac{-1}{2}=-\frac12\), punto \(\left(0,-\frac12\right)\). Eje \(OX\): \(3x-1=0\), \(x=\frac13\), punto \(\left(\frac13,0\right)\).
   4. \(3-\dfrac{7}{x+2}=\dfrac{3(x+2)-7}{x+2}=\dfrac{3x-1}{x+2}\). Como \(\frac{7}{x+2}\) nunca vale 0, \(f\) nunca toma el valor 3: recorrido \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \((f\circ g)(x)=f(g(x))=3(x^2+1)-2=3x^2+1\). En el otro orden, \((g\circ f)(x)=g(3x-2)=(3x-2)^2+1=9x^2-12x+5\). Son distintas: la composición no es conmutativa. Para calcular \(f\circ g\) se aplica primero \(g\) y después \(f\).
   2. \((f\circ g)(2)=3\cdot4+1=13\). También: \(g(2)=5\) y \(f(5)=13\). Ambas vías dan el mismo resultado, como debe ocurrir.
   3. Despejamos \(x\) en \(y=3x-2\): \(x=\frac{y+2}{3}\). Intercambiando las variables, \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}\). Comprobación: \(f\left(\frac{x+2}{3}\right)=3\cdot\frac{x+2}{3}-2=(x+2)-2=x\). Además \(f^{-1}(f(x))=\frac{(3x-2)+2}{3}=x\). Las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\) son simétricas respecto de la bisectriz \(y=x\).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(A(t)=1+0{,}15t\), \(B(t)=0{,}25t\) y \(C(t)=6+0{,}05t\). Las tres son funciones afines: término fijo más precio por minuto.
   2. \(A=B\): \(1+0{,}15t=0{,}25t\Rightarrow t=10\) min, coste \(2{,}50\) €. \(A=C\): \(1+0{,}15t=6+0{,}05t\Rightarrow0{,}1t=5\Rightarrow t=50\) min, coste \(8{,}50\) €.
   3. Para \(t\lt 10\) conviene B; para \(10\lt t\lt 50\) conviene A; para \(t\gt 50\) conviene C (la que tiene el menor coste por minuto). En \(t=10\) cuestan igual A y B, y en \(t=50\), A y C.
   4. \(A(70)=11{,}50\) €, \(B(70)=17{,}50\) € y \(C(70)=9{,}50\) €. Conviene la opción C. Respuesta: para 70 minutos conviene C, que ahorra 2 € respecto de A.

Total : 20 puntos