Funciones elementales – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Es una fracción, así que excluimos los valores que anulan el denominador: \(x^2-4=0\) si \(x=\pm2\). Dominio: \(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).
   2. Es una raíz cuadrada, así que el radicando debe ser no negativo: \(2x-6\ge0\), luego \(x\ge3\). Dominio: \([3,+\infty)\).
   3. El argumento del logaritmo debe ser positivo: \(5-x>0\), luego \(x<5\). Dominio: \((-\infty,5)\).
   4. Hay dos condiciones a la vez. Radicando: \(x^2-9\ge0\), es decir, \(x\le-3\) o \(x\ge3\). Denominador: \(x\ne4\). Juntándolas, el dominio es \((-\infty,-3]\cup[3,4)\cup(4,+\infty)\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(f(-1)=1+4+3=8\), \(f(0)=3\), \(f(2)=4-8+3=-1\), \(f(5)=25-20+3=8\).
   2. \(x_v=\dfrac{4}{2}=2\) y \(f(2)=-1\). Vértice \((2,-1)\) y eje \(x=2\).
   3. Con el eje \(OY\): \((0,3)\). Con el eje \(OX\): \(x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1\) y \(x=3\), los puntos \((1,0)\) y \((3,0)\).
   4. Como \(a>0\) la parábola se abre hacia arriba: recorrido \([-1,+\infty)\); decrece en \((-\infty,2)\) y crece en \((2,+\infty)\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. La pendiente es el cociente de incrementos: \(m=\dfrac{-3-5}{3-(-1)}=\dfrac{-8}{4}=-2\). Sustituimos el punto \(A\) en \(y=-2x+n\): \(5=-2\cdot(-1)+n\), luego \(n=3\). La recta es \(y=-2x+3\). Comprobación con \(B\): \(-6+3=-3\) ✓.
   2. Corte con el eje \(OY\): \(x=0\) da \(y=3\), punto \((0,3)\). Corte con el eje \(OX\): \(-2x+3=0\), luego \(x=\frac32\), punto \(\left(\frac32,0\right)\).
   3. Para \(x=5\): \(y=-10+3=-7\), que coincide con la ordenada del punto, así que sí pertenece a la recta. Como la pendiente \(m=-2\) es negativa, la función es decreciente: \(y\) baja 2 unidades por cada unidad que aumenta \(x\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(x_v=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2\) y \(f(2)=-4+8+5=9\). Vértice \((2,9)\); eje \(x=2\).
   2. Eje \(OY\): \((0,5)\). Eje \(OX\): \(-x^2+4x+5=0\Rightarrow x^2-4x-5=0\Rightarrow x=-1\) o \(x=5\).
   3. Dominio \(\mathbb{R}\); recorrido \((-\infty,9]\); máximo absoluto 9 en \(x=2\); crece en \((-\infty,2)\) y decrece en \((2,+\infty)\).
   4. \(f(1)=-1+4+5=8\) y \(f(3)=-9+12+5=8\). Son iguales: puntos simétricos respecto de \(x=2\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. El denominador se anula en \(x=3\), luego el dominio es \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Como el numerador vale \(7\ne0\) en \(x=3\), la función tiende a infinito: hay asíntota vertical \(x=3\).
   2. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite es el cociente de coeficientes principales: \(\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x+1}{x-3}=2\). Asíntota horizontal \(y=2\).
   3. Eje \(OX\): la fracción es cero si lo es el numerador, \(2x+1=0\), luego \(x=-\frac12\), punto \(\left(-\frac12,0\right)\). Eje \(OY\): \(f(0)=-\frac13\), punto \(\left(0,-\frac13\right)\).
   4. \(2+\dfrac{7}{x-3}=\dfrac{2(x-3)+7}{x-3}=\dfrac{2x+1}{x-3}\). Como \(\frac{7}{x-3}\) nunca vale 0, \(f\) nunca vale 2: el recorrido es \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Sustituimos en \(f(x)=2^x\): \(f(-2)=2^{-2}=\frac14\), \(f(0)=2^0=1\) y \(f(3)=2^3=8\).
   2. \(\log_2x\) es el exponente al que hay que elevar 2 para obtener \(x\): \(g\left(\frac14\right)=-2\) porque \(2^{-2}=\frac14\); \(g(1)=0\) porque \(2^0=1\); \(g(8)=3\) porque \(2^3=8\). Son los valores del apartado a) con los papeles cambiados.
   3. \(f\): dominio \(\mathbb{R}\), recorrido \((0,+\infty)\) y asíntota horizontal \(y=0\). \(g\): dominio \((0,+\infty)\), recorrido \(\mathbb{R}\) y asíntota vertical \(x=0\). El dominio de una es el recorrido de la otra, y sus gráficas son simétricas respecto de \(y=x\).
   4. \(g(f(5))=\log_22^5=5\) y \(f(g(7))=2^{\log_27}=7\), por la propia definición de logaritmo: cada función deshace lo que hace la otra.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Se desplaza 2 unidades a la derecha y 1 hacia arriba. Vértice \((2,1)\); recorrido \([1,+\infty)\).
   2. Se refleja respecto del eje \(OX\) y se sube 3. Vértice \((0,3)\); recorrido \((-\infty,3]\).
   3. Se desplaza 1 a la izquierda y 3 hacia abajo. Vértice \((-1,-3)\); recorrido \([-3,+\infty)\).
   4. Se estira verticalmente multiplicando las imágenes por 2. Vértice \((0,0)\); recorrido \([0,+\infty)\) y pendientes \(\pm2\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Sustituimos \(x\) por \(-x\): \(f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)\). Es par, porque solo tiene potencias pares; su gráfica es simétrica respecto del eje \(OY\).
   2. \(g(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-g(x)\). Es impar: solo tiene potencias impares y su gráfica es simétrica respecto del origen.
   3. \(h(-x)=x^2-x\), que no coincide con \(h(x)\) ni con \(-h(x)\). No es par ni impar; basta un contraejemplo: \(h(1)=2\) y \(h(-1)=0\).
   4. \(k(-x)=\dfrac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=\dfrac{-x^3}{x^2+1}=-k(x)\): es impar (cociente de una función impar entre una par).

9. Solución del ejercicio 9

   1. En \(f\circ g\) se aplica primero \(g\) y al resultado se le aplica \(f\): \((f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2+1\). En \(g\circ f\) es al revés: \((g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\).
   2. Sustituimos \(x=2\): \((f\circ g)(2)=2\cdot4+1=9\) y \((g\circ f)(2)=5^2=25\).
   3. No es conmutativa: en general \(f\circ g\ne g\circ f\). Basta un contraejemplo, como el del apartado b), donde se obtiene \(9\ne25\).
   4. \((h\circ f)(x)=h(2x+1)=\sqrt{2x+1}\). La raíz exige \(2x+1\ge0\), es decir, \(x\ge-\frac12\): el dominio es \(\left[-\frac12,+\infty\right)\).

10. Solución del ejercicio 10

    1. Despejamos \(x\): \(y=\frac{3x-2}{5}\), luego \(5y=3x-2\) y \(x=\frac{5y+2}{3}\). Intercambiando los nombres, \(f^{-1}(x)=\dfrac{5x+2}{3}\). Comprobación: \(f\left(\frac{5x+2}{3}\right)=\dfrac{3\cdot\frac{5x+2}{3}-2}{5}=\dfrac{5x+2-2}{5}=x\).
    2. \(y=x^3+1\), luego \(x^3=y-1\) y \(x=\sqrt[3]{y-1}\). Por tanto, \(g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}\); existe en todo \(\mathbb{R}\) porque la raíz cúbica está definida para cualquier número.
    3. En todo \(\mathbb{R}\) no tiene inversa, porque no es inyectiva: dos valores distintos dan la misma imagen, \(h(2)=h(-2)=4\). Restringida a \([0,+\infty)\) sí es inyectiva, y su inversa es \(\sqrt{x}\).

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(f(x)=3{,}5+1{,}1x\) si \(0\le x\le10\); \(f(x)=14{,}5+0{,}9(x-10)\) si \(x>10\) (porque \(f(10)=3{,}5+11=14{,}5\)).
    2. \(f(4)=3{,}5+4{,}4=7{,}9\) €. \(f(25)=14{,}5+0{,}9\cdot15=28\) €.
    3. Por la izquierda, \(3{,}5+1{,}1\cdot10=14{,}5\); por la derecha, \(14{,}5+0=14{,}5\). Coinciden con \(f(10)\): es continua.
    4. Como \(19>14{,}5\), el trayecto supera 10 km: \(14{,}5+0{,}9(x-10)=19\Rightarrow x-10=5\Rightarrow x=15\) km.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(P(t)=0\) si \(0\le t\le30\); \(P(t)=0{,}04(t-30)\) si \(30<t\le120\); \(P(t)=3{,}6+0{,}02(t-120)\) si \(120<t<340\); \(P(t)=8\) si \(t\ge340\).
    2. \(P(20)=0\); \(P(90)=0{,}04\cdot60=2{,}40\) €; \(P(200)=3{,}6+0{,}02\cdot80=5{,}20\) €; \(P(500)=8\) € (tope diario).
    3. Como \(5>3{,}6\), está en el tercer tramo: \(3{,}6+0{,}02(t-120)=5\Rightarrow t-120=70\Rightarrow t=190\) min.
    4. \(3{,}6+0{,}02(t-120)=8\Rightarrow t-120=220\Rightarrow t=340\) min, es decir, 5 h 40 min.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Cada coste es una función afín: parte fija más precio por GB. \(A(x)=8+3x\) y \(B(x)=20+x\).
    2. Con \(x=4\): \(A=8+12=20\) € y \(B=20+4=24\) €. Con \(x=10\): \(A=8+30=38\) € y \(B=20+10=30\) €.
    3. Igualamos: \(8+3x=20+x\), luego \(2x=12\) y \(x=6\) GB. El coste común es \(8+18=26\) €; gráficamente, es el punto de corte de las dos rectas.
    4. Para \(x<6\) conviene A, porque tiene menos cuota fija. Para \(x>6\) conviene B, porque cada GB cuesta menos. Con \(x=6\) da igual.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(h(0)=2\) m.
    2. \(x_v=-\dfrac{0{,}8}{2\cdot(-0{,}1)}=4\) m y \(h(4)=-1{,}6+3{,}2+2=3{,}6\) m.
    3. \(-0{,}1x^2+0{,}8x+2=0\Rightarrow x^2-8x-20=0\Rightarrow x=10\) o \(x=-2\). Cae a los 10 m.
    4. \(-0{,}1x^2+0{,}8x+2=3{,}05\Rightarrow x^2-8x+10{,}5=0\Rightarrow x=4\pm\sqrt{5{,}5}\), es decir, \(1{,}66\) m y \(6{,}34\) m. La canasta es la segunda, cuando el balón baja: \(6{,}34\) m.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(C(0)=5\,000\) €; \(C(5)=5\,000\cdot1{,}03^5\approx5\,796{,}37\) €; \(C(10)\approx6\,719{,}58\) €.
    2. El capital se multiplica por un mismo factor en cada periodo (crece un \(3\ \%\) de lo que hay), en vez de sumar una cantidad fija. Los aumentos anuales son cada vez mayores.
    3. \(t=\dfrac{\ln2}{\ln1{,}03}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}02956}\approx23{,}45\) años.
    4. \(t(C)=\dfrac{\ln(C/5\,000)}{\ln1{,}03}\). Para \(C=7\,000\): \(t=\dfrac{\ln1{,}4}{\ln1{,}03}\approx\dfrac{0{,}3365}{0{,}02956}\approx11{,}4\) años.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(M(50)=\dfrac{900}{50}=18\) €; \(M(100)=\dfrac{1\,300}{100}=13\) €; \(M(500)=\dfrac{4\,500}{500}=9\) €.
    2. \(M(x)=8+\dfrac{500}{x}\to8\) cuando \(x\to\infty\). La asíntota \(y=8\) indica que, con muchísimas unidades, el coste medio tiende a los 8 € variables, porque los costes fijos se reparten.
    3. \(\dfrac{500+8x}{x}\le10\Rightarrow500+8x\le10x\Rightarrow x\ge250\) camisetas.
    4. No se puede fabricar un número negativo ni dividir entre cero. Cuando \(x\to0^+\), \(M\to+\infty\): con pocas camisetas, los costes fijos pesan muchísimo en cada unidad.

17. Solución del ejercicio 17

    1. A: \(100,\ 160,\ 220,\ 280,\ 340\). B: \(50,\ 70,\ 130,\ 230,\ 370\). C: \(40,\ 90,\ 202{,}5,\ 455{,}6,\ 1\,025{,}2\).
    2. En \(t=4\): \(C=202{,}5<220=A\). En \(t=5\): \(C=303{,}75>250=A\). Supera a A a partir del mes 5.
    3. \(5t^2+50>100+30t\Rightarrow t^2-6t-10>0\Rightarrow t>3+\sqrt{19}\approx7{,}36\). Para \(t=7\) es \(295<310\) y para \(t=8\) es \(370>340\): a partir del mes 8.
    4. El exponencial: tarde o temprano supera a cualquier función lineal o cuadrática, porque se multiplica por 1,5 cada mes mientras que los otros crecen de forma más lenta.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Se desplaza 1 a la izquierda (\((x+1)^2\)), se estira por 2 y se refleja respecto del eje \(OX\) (\(-2(x+1)^2\)) y se sube 3 unidades.
    2. Vértice \((-1,3)\); eje \(x=-1\); recorrido \((-\infty,3]\) con máximo 3.
    3. Eje \(OY\): \(g(0)=-2+3=1\), punto \((0,1)\). Eje \(OX\): \((x+1)^2=\frac32\Rightarrow x=-1\pm\sqrt{1{,}5}\), es decir, \(x\approx0{,}22\) y \(x\approx-2{,}22\).
    4. \(g(x)=-2(x^2+2x+1)+3=-2x^2-4x+1\). Entonces \(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot(-2)}=-1\). Coincide.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(r(3)=6\) m y \(A=\pi\cdot36\approx113{,}1\) m\(^2\).
    2. \((A\circ r)(t)=\pi(2t)^2=4\pi t^2\).
    3. \(4\pi t^2=100\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{100}{4\pi}}=\dfrac{5}{\sqrt\pi}\approx2{,}82\) s. La inversa es \(t=\sqrt{\dfrac{A}{4\pi}}\).
    4. A los 6 s: \(4\pi\cdot36\); a los 3 s: \(4\pi\cdot9\). El cociente es \(4\). Al duplicar el tiempo se duplica el radio y el área se multiplica por \(2^2=4\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(y=\dfrac{x+3}{x-1}\Rightarrow yx-y=x+3\Rightarrow x(y-1)=y+3\Rightarrow x=\dfrac{y+3}{y-1}\). Luego \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{x-1}=f(x)\).
    2. \(f(f(x))=\dfrac{\frac{x+3}{x-1}+3}{\frac{x+3}{x-1}-1}=\dfrac{(x+3)+3(x-1)}{(x+3)-(x-1)}=\dfrac{4x}{4}=x\). Su gráfica es simétrica respecto de la recta \(y=x\) (porque coincide con su simétrica).
    3. De \(y=\dfrac{x+b}{x-1}\): \(yx-y=x+b\Rightarrow x(y-1)=y+b\Rightarrow x=\dfrac{y+b}{y-1}\). La inversa es \(\dfrac{x+b}{x-1}=f(x)\) para cualquier \(b\). Por ejemplo, con \(b=3\) se obtiene la función del apartado a).