Funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(m=\dfrac{9-1}{6-2}=2\). Con \((2,1)\): \(1=4+n\), \(n=-3\). \(y=2x-3\). Comprobación con \((6,9)\): \(12-3=9\).
   2. \(2x-3=-x+7\), \(3x=10\), \(x=\dfrac{10}{3}\), \(y=\dfrac{11}{3}\). Punto \(\left(\dfrac{10}{3},\dfrac{11}{3}\right)\). Igualamos las dos expresiones de \(y\).

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por la pendiente 2 y 1 punto por la ordenada \(-3\), con la comprobación en \((6,9)\). En b) 1 punto por igualar las dos expresiones y 1 punto por el punto \(\left(\dfrac{10}{3},\dfrac{11}{3}\right)\), que cumple \(-\dfrac{10}{3}+7=\dfrac{11}{3}\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Vértice en \(x=3\), \(y=9-18+5=-4\): \((3,-4)\). Eje \(x=3\).
   2. Eje \(Y\): \((0,5)\). Eje \(X\): \(x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0\): \((1,0)\) y \((5,0)\).
   3. Recorrido \([-4,+\infty)\). Decrece en \((-\infty,3)\) y crece en \((3,+\infty)\).

   Criterios de corrección: el vértice \((3,-4)\) y el eje \(x=3\) valen 1 punto. Los cortes valen 2 puntos: 0,5 por \((0,5)\) y 1,5 por \((1,0)\) y \((5,0)\), que están a la misma distancia del eje. El recorrido y los intervalos valen 1 punto, con decrecimiento a la izquierda de 3 y crecimiento a la derecha.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(k=4\cdot3=12\). Valores \(y=12,6,4,2,1\). Multiplicamos las coordenadas del punto para obtener \(k\) y dividimos 12 entre cada \(x\).
   2. Asíntota vertical \(x=0\) y asíntota horizontal \(y=0\). La función no está definida en \(x=0\) y se acerca a 0 cuando \(x\) crece.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por \(k=12\) y 1 punto por la tabla 12, 6, 4, 2 y 1, en la que el producto \(x\cdot y\) siempre vale 12. En b) 0,5 puntos por cada asíntota: la vertical \(x=0\) porque no se puede dividir entre cero y la horizontal \(y=0\) porque la fracción se hace muy pequeña.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Diferencias constantes \(+3\): lineal, \(y=3x-1\). Las diferencias entre valores consecutivos son constantes. Comprobación: \(3\cdot1-1=2\).
   2. Son los cuadrados: cuadrática, \(y=x^2\). Las segundas diferencias son constantes, 2.

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por reconocer la función lineal por sus diferencias constantes de 3 y 0,75 por la fórmula \(y=3x-1\). En b) 0,75 puntos por ver que las diferencias 3, 5, 7 no son constantes pero sus diferencias sí, y 0,75 por la fórmula \(y=x^2\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(h(0)=15\) m. Vértice en \(t=\dfrac{-10}{-10}=1\) s, \(h(1)=-5+10+15=20\) m.
   2. \(-5t^2+10t+15=0\), \(t^2-2t-3=0\), \((t-3)(t+1)=0\): llega al suelo a los \(3\) s.
   3. Dominio \([0,3]\) y recorrido \([0,20]\) m. Crece en \((0,1)\) y decrece en \((1,3)\).
   4. \(-5t^2+10t+15>17\) da \(5t^2-10t+2<0\): \(t=\dfrac{10\pm\sqrt{100-40}}{10}=1\pm0{,}775\). Está a más de \(17\) m entre \(0{,}23\) s y \(1{,}77\) s.

   Criterios de corrección: altura inicial y vértice valen 2 puntos, el instante de llegada al suelo 2 puntos (descartando \(t=-1\)), recorrido e intervalos 1 punto y el último apartado 1 punto. Comprobación: \(h(0{,}23)\approx-0{,}26+2{,}3+15\approx17\) m.

Total : 20 puntos