Funciones elementales – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. En \(f\) el denominador no puede anularse: \(x^2-4x=x(x-4)=0\) para \(x=0\) y \(x=4\), así que \(\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{0,4\}\). En \(g\) el radicando debe ser no negativo: \(6-2x\ge0\) implica \(x\le3\), luego \(\text{Dom}\,g=(-\infty,3]\).
   2. Pendiente: \(m=\dfrac{9-1}{6-2}=2\). Con el punto \((2,1)\): \(y-1=2(x-2)\), es decir, \(y=2x-3\). Comprobación con el otro punto: \(2\cdot6-3=9\).
   3. Eje \(Y\): con \(x=0\) se obtiene el punto \((0,-3)\). Eje \(X\): \(2x-3=0\) da \(x=1{,}5\), punto \((1{,}5;0)\). Comprobación: \(2\cdot1{,}5-3=0\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Abscisa del vértice: \(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2\cdot(-1)}=3\), y \(f(3)=-9+18-5=4\). El vértice es \((3,4)\); como \(a=-1\lt 0\), la parábola se abre hacia abajo y es un máximo.
   2. Eje \(Y\): \(f(0)=-5\), punto \((0,-5)\). Eje \(X\): \(-x^2+6x-5=0\) equivale a \(x^2-6x+5=0\), con soluciones \(x=1\) y \(x=5\): puntos \((1,0)\) y \((5,0)\).
   3. \(f(0)=-5\); \(f(1)=0\); \(f(2)=3\); \(f(3)=4\); \(f(4)=3\); \(f(5)=0\); \(f(6)=-5\). La parábola se abre hacia abajo, crece hasta \(x=3\), decrece después y es simétrica respecto de la recta \(x=3\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Escribimos 81 como potencia de 3: \(3^{x+1}=3^4\). Igualando exponentes, \(x+1=4\), luego \(x=3\). Comprobación: \(3^{3+1}=3^4=81\).
   2. Por la definición de logaritmo, \(x-1=2^4=16\), luego \(x=17\). Es válida porque \(x-1\gt 0\). Comprobación: \(\log_2 16=4\).
   3. Tomamos logaritmos neperianos: \(x\ln5=\ln20\), así que \(x=\dfrac{\ln20}{\ln5}=\dfrac{2{,}9957}{1{,}6094}=1{,}861\). También vale con logaritmos decimales, pues el cociente no depende de la base. Comprobación: \(5^{1{,}861}\approx20\).
   4. La suma de logaritmos es el logaritmo del producto: \(\log4+\log25=\log(4\cdot25)=\log100=2\). En efecto, \(10^2=100\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Cada tarifa es una función afín: parte fija más precio por clase. \(A(x)=30+12x\) y \(B(x)=90+8x\).
   2. Igualamos: \(30+12x=90+8x\), luego \(4x=60\) y \(x=15\) clases. Con 15 clases las dos cuestan \(30+180=210\) €.
   3. Con 10 clases: \(A=30+120=150\) € y \(B=90+80=170\) €, conviene A. Con 25 clases: \(A=330\) € y \(B=290\) €, conviene B. En general, A conviene por debajo de 15 clases y B por encima.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(U(2)=400\cdot1{,}25^2=400\cdot1{,}5625=625\) usuarios y \(U(4)=400\cdot1{,}25^4=400\cdot2{,}4414=976\) usuarios.
   2. Planteamos \(400\cdot1{,}25^t=1000\), es decir, \(1{,}25^t=2{,}5\). Con logaritmos, \(t=\dfrac{\ln2{,}5}{\ln1{,}25}=\dfrac{0{,}9163}{0{,}2231}=4{,}11\) meses. Como \(U(4)=976\) y \(U(5)=400\cdot1{,}25^5\approx1221\), los 1 000 usuarios se superan durante el quinto mes.
   3. Vértice: \(x=\dfrac{4}{2\cdot0{,}002}=1\,000\). Coste mínimo: \(C(1000)=2\,000-4\,000+3\,000=1\,000\) €. Con \(x\le1000\) el coste decrece mientras crece el número de usuarios. Aquí el coeficiente de \(x^2\) es \(0{,}002\gt 0\), así que la parábola tiene un mínimo en el vértice.
   4. \(C(400)=320-1\,600+3\,000=1\,720\) € y \(C(1000)=1\,000\) €. Cuantos más usuarios, menor coste: la aplicación es más rentable cuanto más se usa.

Total : 20 puntos