Funciones elementales – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: ejercicios para descargar en PDF

El dominio de una función es el conjunto de valores de \(x\) para los que se puede calcular \(f(x)\). Recuerda tres prohibiciones: no se divide entre cero, no se hace la raíz cuadrada de un número negativo y no se hace el logaritmo de un número menor o igual que cero.

1. \(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}\)
2. \(g(x)=\sqrt{2x-6}\)
3. \(h(x)=\ln(5-x)\)
4. \(k(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x-4}\)

Sea \(f(x)=x^2-4x+3\). Vamos a estudiarla con una tabla de valores y con la fórmula del vértice \(x_v=-\frac{b}{2a}\).

1. Calcula \(f(-1)\), \(f(0)\), \(f(2)\) y \(f(5)\).
2. Halla el vértice y el eje de simetría.
3. Calcula los puntos de corte con los ejes.
4. Escribe el recorrido y los intervalos de crecimiento.

La gráfica de una función afín pasa por los puntos \(A(-1,5)\) y \(B(3,-3)\).

1. Calcula la pendiente y escribe la ecuación \(y=mx+n\).
2. Halla los puntos de corte con los ejes.
3. ¿Pertenece el punto \((5,-7)\) a la recta? ¿Es creciente o decreciente?

Estudia la función \(f(x)=-x^2+4x+5\) siguiendo el método de la parábola.

1. Halla el vértice y el eje de simetría.
2. Calcula los puntos de corte con los ejes.
3. Indica el dominio, el recorrido, el máximo y los intervalos de monotonía.
4. Comprueba la simetría calculando \(f(1)\) y \(f(3)\).

Sea \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\). Aplica el método de las asíntotas.

1. Calcula el dominio y la asíntota vertical.
2. Calcula la asíntota horizontal con \(\lim_{x\to\infty}f(x)\).
3. Halla los cortes con los ejes.
4. Comprueba que \(f(x)=2+\dfrac{7}{x-3}\) y deduce el recorrido.

Las funciones \(f(x)=2^x\) y \(g(x)=\log_2x\) son inversas una de la otra.

1. Calcula \(f(-2)\), \(f(0)\) y \(f(3)\).
2. Calcula \(g\left(\frac14\right)\), \(g(1)\) y \(g(8)\).
3. Indica el dominio, el recorrido y la asíntota de cada una.
4. Comprueba que \(g(f(5))=5\) y que \(f(g(7))=7\).

Partimos de la parábola \(y=x^2\) y del valor absoluto \(y=|x|\). Describe cómo se transforma cada gráfica y da el vértice y el recorrido.

1. \(g(x)=(x-2)^2+1\)
2. \(h(x)=-x^2+3\)
3. \(k(x)=|x+1|-3\)
4. \(m(x)=2|x|\)

Una función es par si \(f(-x)=f(x)\) (simetría respecto del eje \(OY\)) e impar si \(f(-x)=-f(x)\) (simetría respecto del origen). Clasifica:

1. \(f(x)=x^4-3x^2\)
2. \(g(x)=x^3+x\)
3. \(h(x)=x^2+x\)
4. \(k(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}\)

Sean \(f(x)=2x+1\), \(g(x)=x^2\) y \(h(x)=\sqrt{x}\). Recuerda que \((f\circ g)(x)=f(g(x))\): primero se aplica \(g\) y después \(f\).

1. Calcula \((f\circ g)(x)\) y \((g\circ f)(x)\).
2. Calcula ambas composiciones en \(x=2\).
3. ¿Es conmutativa la composición? Razónalo con los resultados.
4. Calcula \((h\circ f)(x)\) e indica su dominio.

Para hallar la inversa de \(y=f(x)\) se despeja \(x\) y se intercambian los nombres de las variables. Sus gráficas son simétricas respecto de la recta \(y=x\).

1. Halla la inversa de \(f(x)=\dfrac{3x-2}{5}\) y comprueba que \(f(f^{-1}(x))=x\).
2. Halla la inversa de \(g(x)=x^3+1\).
3. ¿Tiene inversa \(h(x)=x^2\) en todo \(\mathbb{R}\)? ¿Y restringida a \([0,+\infty)\)?

En una ciudad, la tarifa de un taxi es: 3,50 € de bajada de bandera más 1,10 € por kilómetro durante los primeros 10 km, y 0,90 € por cada kilómetro a partir del kilómetro 10 (la bajada de bandera y los primeros 10 km se cobran siempre).

1. Escribe la función \(f(x)\) que da el precio del trayecto en función de los kilómetros \(x\), como función definida a trozos.
2. Calcula el precio de un trayecto de 4 km y de otro de 25 km.
3. Comprueba que la función es continua en \(x=10\).
4. Una persona paga 19 €. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido?

Un aparcamiento público cobra según el tiempo \(t\) de estancia en minutos: los primeros 30 minutos son gratuitos; entre los 30 y los 120 minutos se pagan 0,04 € por minuto que supere los 30; a partir de los 120 minutos se suman 0,02 € por minuto de más sobre los 3,60 € ya acumulados; y el precio máximo diario es de 8 €.

1. Escribe la función de precio \(P(t)\) a trozos, con sus intervalos.
2. Calcula el precio de estancias de 20 min, 90 min, 200 min y 500 min.
3. ¿Cuánto tiempo se ha estacionado si se pagan 5 €?
4. ¿A partir de qué tiempo se paga el máximo de 8 €?

Dos compañías ofrecen tarifas con datos adicionales. Con la compañía A se pagan 8 € fijos más 3 € por cada GB extra; con la compañía B se pagan 20 € fijos más 1 € por cada GB extra. Llamamos \(x\) al número de GB extra consumidos al mes.

1. Escribe las funciones de coste \(A(x)\) y \(B(x)\).
2. Calcula el coste de ambas para \(x=4\) y para \(x=10\).
3. Halla el consumo para el cual cuestan lo mismo y el coste común.
4. Explica qué compañía conviene a un usuario con poco consumo y cuál a uno con mucho.

En un partido de baloncesto, la altura del balón en un tiro libre sigue la parábola \(h(x)=-0{,}1x^2+0{,}8x+2\), donde \(x\) es la distancia horizontal recorrida (en metros) y \(h\) la altura (en metros). La canasta está a 3,05 m de altura.

1. ¿Desde qué altura sale el balón?
2. Calcula la altura máxima y a qué distancia horizontal se alcanza.
3. ¿A qué distancia horizontal caería el balón al suelo si nadie lo toca?
4. El balón pasa por la altura de la canasta dos veces. Calcula las dos distancias; ¿cuál corresponde a la canasta?

Una joven de Zaragoza deposita 5 000 € en un banco que paga un 3 % anual con interés compuesto, de modo que el capital se multiplica por 1,03 cada año. El capital al cabo de \(t\) años es \(C(t)=5\,000\cdot1{,}03^t\).

1. Calcula \(C(0)\), \(C(5)\) y \(C(10)\) redondeando a céntimos.
2. Explica por qué esta función es exponencial y no lineal.
3. ¿En cuántos años se duplicará el capital? Resuelve \(1{,}03^t=2\) con logaritmos.
4. Halla la función inversa \(t(C)\) y úsala para calcular cuánto tarda en llegar a 7 000 €.

Un taller de Valencia estampa camisetas para equipos deportivos. Tiene unos costes fijos de 500 € y cada camiseta cuesta 8 € de material y mano de obra. El coste medio por camiseta al fabricar \(x\) unidades es \(M(x)=\dfrac{500+8x}{x}\).

1. Calcula \(M(50)\), \(M(100)\) y \(M(500)\).
2. Halla la asíntota horizontal e interpreta su significado.
3. ¿Cuántas camisetas hay que fabricar para que el coste medio no pase de 10 €?
4. Explica por qué el dominio práctico es \(x>0\) y qué ocurre cuando \(x\to0\).

Los administradores de tres blogs de recetas comparan las visitas diarias que han tenido durante los primeros \(t\) meses. El blog A crece de forma lineal, \(A(t)=100+30t\); el blog B, de forma cuadrática, \(B(t)=5t^2+50\); y el blog C, de forma exponencial, \(C(t)=40\cdot1{,}5^t\).

1. Completa una tabla con los valores de las tres funciones para \(t=0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8\).
2. ¿En qué mes supera C a A por primera vez? Razona con valores enteros de \(t\).
3. ¿Cuándo supera B a A?
4. Explica cuál de los tres modelos crece más deprisa a largo plazo y por qué.

Se considera la función \(g(x)=-2(x+1)^2+3\), obtenida a partir de \(y=x^2\) mediante varias transformaciones.

1. Describe, en orden, las transformaciones que llevan \(y=x^2\) a \(y=g(x)\).
2. Indica el vértice, el eje de simetría y el recorrido.
3. Calcula los cortes con los ejes.
4. Desarrolla \(g(x)\) y comprueba que \(x_v=-\frac{b}{2a}=-1\).

Al lanzar una piedra a un estanque se forma una onda circular cuyo radio crece con el tiempo según \(r(t)=2t\) (metros, con \(t\) en segundos). El área del círculo es \(A(r)=\pi r^2\).

1. Calcula el radio y el área de la onda a los 3 segundos.
2. Halla la composición \((A\circ r)(t)\), que da el área en función del tiempo.
3. ¿Cuándo tiene la onda un área de 100 m\(^2\)? Usa la función inversa.
4. ¿Cuántas veces mayor es el área a los 6 s que a los 3 s? Explica el resultado.

Una función es una involución si coincide con su inversa, es decir, \(f(f(x))=x\).

1. Halla la inversa de \(f(x)=\dfrac{x+3}{x-1}\).
2. Demuestra que \(f(f(x))=x\) y explica qué simetría tiene su gráfica.
3. Demuestra que \(f(x)=\dfrac{x+b}{x-1}\) es una involución para cualquier valor de \(b\).