Límites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Sale \(\frac00\): factorizamos numerador y denominador, \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{x+2}{x+1}\), que tiende a \(\dfrac43\).
   2. Indeterminación \(\frac\infty\infty\) con el mismo grado en numerador y denominador: el límite es el cociente de los coeficientes principales, \(\dfrac42=2\).
   3. Indeterminación \(1^\infty\). Escribimos el exponente como \(3x=\frac x2\cdot6\): \(\left[\left(1+\frac2x\right)^{x/2}\right]^{6}\to e^6\). Se usa el límite \(\lim_{u\to\infty}\left(1+\frac1u\right)^u=e\) con \(u=\frac x2\).
   4. Indeterminación \(\infty-\infty\). Multiplicando por el conjugado: \(\dfrac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}\). Dividiendo entre \(x\): \(\dfrac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}\to\dfrac{3}{1+1}=\dfrac32\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. El denominador se anula en \(x=2\) y el numerador vale \(8-6=2\neq0\). Por la izquierda el denominador es negativo: \(\lim_{x\to2^-}f=-\infty\); por la derecha es positivo: \(\lim_{x\to2^+}f=+\infty\). Asíntota vertical \(x=2\).
   2. El grado del numerador (2) es mayor que el del denominador (1): \(\lim_{x\to\pm\infty}f=\pm\infty\), así que no hay asíntota horizontal.
   3. Como la diferencia de grados es 1, hay asíntota oblicua. Dividiendo, \(2x^2-3x=(x-2)(2x+1)+2\), luego \(f(x)=2x+1+\frac{2}{x-2}\). El último término tiende a 0, así que la asíntota oblicua es \(y=2x+1\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Por la izquierda de 2 se usa el primer tramo: \(\lim_{x\to2^-}f=2a-1\). Por la derecha (y en el propio punto) se usa el segundo: \(\lim_{x\to2^+}f=4-a=f(2)\).
   2. Para que \(f\) sea continua en \(x=2\), los dos límites laterales deben coincidir con \(f(2)\): \(2a-1=4-a\), luego \(3a=5\) y \(a=\frac53\). Comprobación: \(2\cdot\frac53-1=\frac73\) y \(4-\frac53=\frac73\).
   3. Con \(a=\frac53\): \(f(0)=\frac53\cdot0-1=-1\), usando el primer tramo, y \(f(3)=9-\frac53=\frac{22}{3}\approx7{,}33\), usando el segundo.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Es un polinomio, continuo en \(\mathbb{R}\). \(f(0)=1\), \(f(1)=-1\), \(f(2)=8-6+1=3\), \(f(-1)=-1+3+1=3\), \(f(-2)=-8+6+1=-1\).
   2. \(f(0)=1\gt 0\) y \(f(1)=-1\lt 0\): por Bolzano hay \(c\in(0,1)\) con \(f(c)=0\). El teorema exige continuidad en \([0,1]\) y signos opuestos en los extremos.
   3. En \([1,2]\): \(f(1)=-1\lt 0\) y \(f(2)=3\gt 0\). En \([-2,-1]\): \(f(-2)=-1\lt 0\) y \(f(-1)=3\gt 0\). Hay una raíz en cada intervalo. Con la anterior son tres raíces, que es el máximo para un polinomio de grado 3.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. Sustituimos: \(C(3)=\frac{24}{6}=4\) mg/L y \(C(12)=\frac{96}{15}=6{,}4\) mg/L.
   2. Numerador y denominador tienen grado 1: \(\lim_{t\to\infty}\frac{8t}{t+3}=8\). La asíntota horizontal es \(y=8\). A largo plazo la concentración se estabiliza cerca de 8 mg/L.
   3. Dividiendo, \(C(t)=8-\frac{24}{t+3}\). Como \(\frac{24}{t+3}\gt 0\) para todo \(t\ge0\), la concentración es siempre menor que 8; y como ese término disminuye al crecer \(t\), la concentración aumenta acercándose a 8 sin alcanzarlo.
   4. Resolvemos \(\frac{8t}{t+3}=6\): \(8t=6t+18\), luego \(t=9\) horas. Comprobación: \(C(9)=\frac{72}{12}=6\) mg/L.

Total : 20 puntos