Geometría analítica en el plano – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. El vector director es \(\overrightarrow{AB}=(3-(-1),4-2)=(4,2)\). La ecuación vectorial es \((x,y)=(-1,2)+\lambda(4,2)\).
   2. Separando coordenadas, las paramétricas son \(x=-1+4\lambda\), \(y=2+2\lambda\). Despejando \(\lambda\) e igualando, la continua es \(\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-2}{2}\).
   3. Multiplicando en cruz: \(2(x+1)=4(y-2)\), es decir, \(2x+2=4y-8\); dividiendo entre 2 y ordenando, \(x-2y+5=0\). Despejando \(y\): \(y=\dfrac12x+\dfrac52\).
   4. En el eje \(OX\), \(y=0\): \(x+5=0\), luego \(x=-5\). El punto de corte es \((-5,0)\). Comprobación con la explícita: \(\frac12\cdot(-5)+\frac52=0\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Comparamos los coeficientes de \(x\) e \(y\): \(\dfrac12\ne\dfrac{2}{-1}\). Como no son proporcionales, las rectas no son paralelas ni coincidentes: son secantes.
   2. Despejamos \(x=4-2y\) en \(r\) y sustituimos en \(s\): \(2(4-2y)-y-3=0\), es decir, \(5-5y=0\), luego \(y=1\) y \(x=2\). El punto de corte es \((2,1)\).
   3. Las pendientes son \(m_r=-\frac12\) y \(m_s=2\). Su producto es \(-\frac12\cdot2=-1\), así que son perpendiculares y forman un ángulo de \(90^\circ\). También: sus vectores normales \((1,2)\) y \((2,-1)\) tienen producto escalar 0.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta: \(d=\dfrac{|5\cdot1-12\cdot(-2)+3|}{\sqrt{25+144}}=\dfrac{|5+24+3|}{13}=\dfrac{32}{13}\approx2{,}46\).
   2. Las rectas paralelas a \(r\) tienen los mismos coeficientes de \(x\) e \(y\): \(5x-12y+C=0\). Imponemos que pase por \(P\): \(5+24+C=0\), luego \(C=-29\). La recta es \(5x-12y-29=0\).
   3. La distancia entre dos paralelas es la de cualquier punto de una a la otra. Como \(P\) está en la paralela, es \(\frac{32}{13}\approx2{,}46\). Comprobación con la fórmula de paralelas: \(\frac{|{-29}-3|}{13}=\frac{32}{13}\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Completamos cuadrados: \(x^2-4x=(x-2)^2-4\) e \(y^2+6y=(y+3)^2-9\). Queda \((x-2)^2+(y+3)^2=12+4+9=25\). Centro \((2,-3)\) y radio 5.
   2. Sustituimos \(P(5,1)\): \((5-2)^2+(1+3)^2=9+16=25\). Cumple la ecuación, así que pertenece a la circunferencia. Equivale a que la distancia de \(P\) al centro sea 5.
   3. La tangente en \(P\) es perpendicular al radio \(\overrightarrow{CP}=(5-2,1+3)=(3,4)\), que actúa como vector normal: \(3(x-5)+4(y-1)=0\), es decir, \(3x+4y-19=0\). Comprobación: la distancia del centro a esta recta es \(\frac{|6-12-19|}{5}=5\), igual al radio.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. El ancho de la base es el eje mayor, \(2a=12\), así que \(a=6\); la altura máxima es el semieje menor, \(b=4\). La ecuación es \(\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{16}=1\).
   2. Para \(x=3\): \(y^2=16\left(1-\frac{9}{36}\right)=16\cdot\frac34=12\), luego \(y=\sqrt{12}\approx3{,}46\) m.
   3. El camión, centrado y de 5 m de ancho, tiene sus bordes en \(x=\pm2{,}5\), que es donde el arco es más bajo para él. Allí \(y=4\sqrt{1-\frac{6{,}25}{36}}\approx3{,}64\) m, mayor que 3,2 m: sí puede pasar, con unos 44 cm de margen.
   4. \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}\approx4{,}47\), luego \(2c\approx8{,}94\) m.

Total : 20 puntos