Estadística bidimensional – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (3 puntos)

   1. Totales por filas: \(8,\ 12,\ 10\). Totales por columnas: \(12,\ 18\). Suma \(30\). La marginal de \(X\) es: 0 consolas, 8 alumnos; 1 consola, 12; 2 consolas, 10. La de \(Y\): 1 hora, \(6+4+2=12\) alumnos; 2 horas, \(2+8+8=18\).
   2. \(\bar x=\dfrac{0\cdot8+1\cdot12+2\cdot10}{30}=\dfrac{32}{30}\approx1{,}07\). \(\bar y=\dfrac{1\cdot12+2\cdot18}{30}=\dfrac{48}{30}=1{,}6\). Por término medio hay algo más de una consola por alumno y se juega 1,6 horas el fin de semana.
   3. Con \(X=2\) hay 10 alumnos y 8 juegan 2 horas: \(\dfrac{8}{10}=0{,}8\), el \(80\ \%\). En el total, la proporción que juega 2 horas es \(\frac{18}{30}=0{,}6\); entre quienes tienen dos consolas es mayor, lo que sugiere relación entre las variables.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(\bar x=\dfrac{20}{5}=4\) y \(\bar y=\dfrac{25}{5}=5\). Sumamos: \(1+2+4+5+8=20\) y \(2+3+5+7+8=25\).
   2. \(\sigma_x^2=\dfrac{110}{5}-16=6\), \(\sigma_y^2=\dfrac{151}{5}-25=5{,}2\) y \(\sigma_{xy}=\dfrac{127}{5}-20=5{,}4\). Se usan \(\sum x^2=1+4+16+25+64=110\), \(\sum y^2=4+9+25+49+64=151\) y \(\sum xy=2+6+20+35+64=127\), con \(\sigma_x^2=\frac{\sum x^2}{n}-\bar x^2\) y \(\sigma_{xy}=\frac{\sum xy}{n}-\bar x\bar y\). Las tres medidas son positivas; la covarianza positiva anticipa una relación creciente.
   3. \(r=\dfrac{5{,}4}{\sqrt{6}\sqrt{5{,}2}}\approx0{,}967\). Correlación positiva y muy fuerte: los puntos están casi sobre una recta creciente. El denominador vale \(\sqrt{31{,}2}\approx5{,}586\). Como \(r\) está muy próximo a 1, tiene sentido ajustar una recta de regresión.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(b_{yx}=\dfrac{5{,}4}{6}=0{,}9\) y \(y-5=0{,}9(x-4)\), es decir, \(y=0{,}9x+1{,}4\). La recta pasa siempre por el centro de gravedad \((\bar x,\bar y)=(4,5)\) y su pendiente es \(\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\).
   2. \(x=6\): \(y=5{,}4+1{,}4=6{,}8\); \(x=20\): \(y=19{,}4\). Solo es fiable la primera, porque \(6\) está dentro del rango de \(x\) (1 a 8); \(20\) queda muy fuera. Estimar en 20 es extrapolar: nada garantiza que la tendencia lineal se mantenga tan lejos de los datos.
   3. \(b_{xy}=\dfrac{5{,}4}{5{,}2}\approx1{,}038\). Comprobación: \(b_{yx}\cdot b_{xy}=0{,}9\cdot1{,}038\approx0{,}935\), que coincide con \(r^2=\frac{5{,}4^2}{6\cdot5{,}2}\approx0{,}935\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(\sigma_{xy}=-0{,}8\cdot3\cdot10=-24\). Se despeja de \(r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\). El signo negativo indica una relación decreciente.
   2. \(b_{yx}=\dfrac{-24}{9}=-\dfrac83\) y \(y-20=-\dfrac83(x-6)\), es decir, \(y=-\dfrac83x+36\). \(b_{xy}=\dfrac{-24}{100}=-0{,}24\) y \(x=-0{,}24y+10{,}8\). Las dos rectas pasan por \((\bar x,\bar y)\). Para la de \(Y\) sobre \(X\) la pendiente es \(\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\) y para la de \(X\) sobre \(Y\), \(\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}\); la segunda se obtiene de \(x-6=-0{,}24(y-20)\).
   3. Se cortan en \((\bar x,\bar y)=(6,20)\). Además \(\left(-\dfrac83\right)(-0{,}24)=0{,}64=(-0{,}8)^2\). Comprobación: \(y=-\frac83\cdot6+36=20\) y \(x=-0{,}24\cdot20+10{,}8=6\). Como \(|r|=0{,}8\), la relación lineal es fuerte e inversa.

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(\bar x=71{,}67\), \(\bar y=144{,}17\), \(\sigma_x^2=538{,}89\), \(\sigma_y^2=1\,411{,}81\), \(\sigma_{xy}=851{,}39\) y \(r=\dfrac{851{,}39}{23{,}21\cdot37{,}57}\approx0{,}976\).
   2. \(b_{yx}=\dfrac{851{,}39}{538{,}89}\approx1{,}580\) y \(y\approx1{,}580x+30{,}94\). La ordenada en el origen es \(a=\bar y-b\,\bar x\), calculada con la pendiente sin redondear.
   3. \(y(100)\approx158{,}0+30{,}94\approx188{,}9\) miles de euros, unos 189 000 €.
   4. \(y(30)\approx47{,}4+30{,}94\approx78{,}3\) miles de euros. La de 100 m\(^2\) está dentro del rango (40 a 110 m\(^2\)) y es fiable. La de 30 m\(^2\) queda fuera del rango: es una extrapolación poco fiable, aunque \(r\) sea alto.

Total : 20 puntos