Estadística bidimensional y regresión lineal – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Perro y gato \(12\), perro sin gato \(18\); sin perro con gato \(5\), sin perro sin gato \(15\). Totales: gato \(17\), sin gato \(33\).
   2. Con perro: \(\dfrac{12}{30}=40\ \%\). Sin perro: \(\dfrac{5}{20}=25\ \%\). Cada porcentaje se calcula dentro de su grupo.

   Criterios de corrección: la tabla vale 2 puntos, medio por cada casilla interior (12, 18, 5 y 15), comprobando que las filas suman 30 y 20. Los porcentajes valen 2 puntos, uno por cada grupo: el 40 % se calcula sobre los 30 dueños de perro y el 25 % sobre los 20 que no tienen perro.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(\bar{x}=3{,}5\), \(\bar{y}=16{,}83\), \(\sigma_x^2=2{,}917\) y \(\sigma_y^2=21{,}81\). Las medias son \(\dfrac{21}{6}\) y \(\dfrac{101}{6}\); las varianzas son la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media.
   2. \(\sigma_{xy}=7{,}92\) y \(r\approx0{,}993\): correlación positiva muy fuerte. Usamos \(r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\).

   Criterios de corrección: medias 1 punto (3,5 horas y 16,83 puntos) y varianzas 1 punto. La covarianza 7,92 vale 1 punto y el coeficiente \(r\approx0{,}993\) otro punto, siempre que se clasifique la correlación como positiva y muy fuerte, porque los puntos casi forman una recta creciente.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(b=\dfrac{7{,}92}{2{,}917}\approx2{,}714\) y la recta es \(y=2{,}714x+7{,}333\). La pendiente es la covarianza entre la varianza de \(x\), y la recta pasa por \((\bar{x},\bar{y})\).
   2. \(x=3{,}5\): \(y\approx16{,}8\) (fiable, dentro del rango). \(x=12\): \(y\approx39{,}9\) (poco fiable, fuera del rango).

   Criterios de corrección: la pendiente 2,714 vale 1 punto y la ordenada 7,333 otro, obtenida con el punto medio \((3{,}5;\ 16{,}83)\). Las predicciones valen 1 punto: 16,8 puntos para 3,5 horas es fiable porque está dentro de los datos, y 39,9 puntos para 12 horas no lo es porque es una extrapolación.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Es negativa y fuerte: a más edad, menor precio. El signo indica el sentido y el valor absoluto, próximo a 1, la fuerza.
   2. \(r^2=0{,}7225\): la edad explica aproximadamente el \(72{,}3\ \%\) de la variación del precio. El resto de la variación se debe a otros factores, como el estado de la consola.

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por el signo negativo y 0,75 por la fuerza, al estar 0,85 cerca de 1. En b) 0,75 puntos por calcular \(0{,}85^2=0{,}7225\) y 0,75 por explicar que el 27,7 % restante de la variación del precio no depende de la edad.

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(\bar{x}=6\) y \(\bar{y}=7{,}667\). \(\sigma_x\approx2{,}646\), \(\sigma_y\approx3{,}35\) y \(\sigma_{xy}\approx8{,}833\).
   2. \(r\approx0{,}9966\): correlación positiva casi perfecta.
   3. \(b\approx1{,}262\) y la recta es \(y=1{,}262x+0{,}095\).
   4. \(x=9\): \(y\approx11{,}45\) decenas, unas 115 bicicletas. La pendiente indica que cada \(100\) € más de publicidad suponen, en media, unas \(12{,}6\) bicicletas más.

   Criterios de corrección: los parámetros valen 2 puntos, \(r\) 1 punto, la recta 2 puntos y la predicción 1 punto. Comprobación de la recta: con \(x=6\) da \(1{,}262\cdot6+0{,}095\approx7{,}67\), que es la media de las ventas.

Total : 20 puntos