Probabilidad – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Hay \(6\cdot6=36\) resultados equiprobables. El producto es impar solo si los dos números son impares: \(3\cdot3=9\) casos, con probabilidad \(\frac{9}{36}=\frac14\). Por el contrario, el producto es par con probabilidad \(1-\frac14=\frac34\).
   2. Contamos los casos con producto \(\ge20\): \((4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)\), que son 8. \(P=\frac8{36}=\frac29\). Los productos posibles a partir de 20 son 20, 24, 25, 30 y 36.
   3. De la fórmula de la unión: \(P(A\cap B)=0{,}6+0{,}3-0{,}7=0{,}2\). Como \(P(A)P(B)=0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\ne0{,}2\), no son independientes.

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. Hay 9 personas y elegimos 4 sin importar el orden: \(\binom94=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=126\) formas. Son combinaciones porque el orden de elección no influye.
   2. Casos favorables: elegir 2 de las 5 chicas, \(\binom52=10\), y 2 de los 4 chicos, \(\binom42=6\); en total \(10\cdot6=60\). Por Laplace, \(P=\frac{60}{126}=\frac{10}{21}\approx0{,}476\). Los casos posibles son las 126 combinaciones del apartado anterior. Casi la mitad de las veces el reparto sería equilibrado.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Gafas y lee: 28. Gafas y no lee: \(70-28=42\). Sin gafas y lee: \(40-28=12\). Sin gafas y no lee: \(30-12=18\). Totales: 70 con gafas, 30 sin gafas, 40 leen, 60 no leen y 100 en total. Las cuatro casillas interiores suman \(28+42+12+18=100\).
   2. Al condicionar, el total pasa a ser la fila o columna conocida: \(P(\text{lee}\mid\text{gafas})=\frac{28}{70}=0{,}4\) y \(P(\text{gafas}\mid\text{lee})=\frac{28}{40}=0{,}7\).
   3. Sí son independientes: \(P(\text{lee}\mid\text{gafas})=0{,}4=P(\text{lee})=\frac{40}{100}\). También \(P(\text{gafas})P(\text{lee})=0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28=P(\text{gafas}\cap\text{lee})\).

4. Solución del ejercicio 4 (5 puntos)

   1. Primer nivel: más de 20 (0,6) y menos de 20 (0,4). Segundo nivel: aprueba 0,9/0,7 y suspende 0,1/0,3. Cada par de ramas que salen de un mismo nodo suma 1.
   2. \(0{,}6\cdot0{,}9+0{,}4\cdot0{,}7=0{,}54+0{,}28=0{,}82\): un 82 %. Es el teorema de la probabilidad total.
   3. \(\frac{0{,}28}{0{,}82}\approx0{,}341\). Por Bayes: \(P(\text{menos}\mid\text{aprueba})=\frac{0{,}4\cdot0{,}7}{0{,}82}\). Es menor que 0,4 porque este grupo aprueba en menor proporción.
   4. \(P(\text{suspende})=0{,}18\). \(\frac{0{,}4\cdot0{,}3}{0{,}18}=\frac{0{,}12}{0{,}18}\approx0{,}667\): dos de cada tres suspensos hicieron pocas clases, aunque solo sean el 40 % de los alumnos.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. Primera extracción azul: \(\frac4{10}\). Sin devolución quedan 3 azules de 9: \(\frac39\). Multiplicando, \(\frac4{10}\cdot\frac39=\frac{12}{90}=\frac2{15}\). Es la regla del producto para sucesos dependientes.
   2. Hay dos caminos: azul y negro, \(\frac4{10}\cdot\frac69=\frac{24}{90}\), o negro y azul, \(\frac6{10}\cdot\frac49=\frac{24}{90}\). Sumando, \(\frac{48}{90}=\frac8{15}\). Los dos caminos son incompatibles, por eso se suman.
   3. Teorema de Bayes: \(P(\text{1.º azul}\mid\text{distinto color})=\dfrac{24/90}{48/90}=\dfrac12\). Por simetría, los dos órdenes son igual de probables. Son los casos favorables dentro del suceso «distinto color».

Total : 20 puntos