Estadística bidimensional – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Fila «andando»: \(45+30=75\). Fila «no andando»: \(30+45=75\). Columna «deporte»: \(45+30=75\). Columna «no deporte»: \(30+45=75\). Total \(150\).
   2. \(\dfrac{75}{150}=0{,}5\). La mitad de los alumnos practica deporte con regularidad.
   3. Entre los que van andando: \(\dfrac{45}{75}=0{,}6\). Entre los que no van andando: \(\dfrac{30}{75}=0{,}4\).
   4. Si fueran independientes, el porcentaje de deportistas sería el mismo en los dos grupos (50 %). Como es 60 % y 40 %, hay cierta dependencia, aunque moderada. Formalmente, \(P(D\mid A)=0{,}6\neq P(D)=0{,}5\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(n=5\); \(\sum x=15\), \(\sum y=25\), \(\sum x^2=55\), \(\sum y^2=155\), \(\sum xy=58\). Medias: \(\bar x=3\), \(\bar y=5\). Varianzas: \(\sigma_x^2=2\) y \(\sigma_y^2=6\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=-3{,}400\). Desviaciones: \(\sigma_x=1{,}414\), \(\sigma_y=2{,}449\). Se obtienen con \(\sigma_x^2=\dfrac{55}{5}-3^2=2\) y \(\sigma_y^2=\dfrac{155}{5}-5^2=6\).
   2. \(\sigma_{xy}=\overline{xy}-\bar x\bar y=11{,}600-3\cdot5=-3{,}400\). Aquí \(\overline{xy}=\dfrac{58}{5}=11{,}6\). El signo negativo indica que, al crecer \(x\), \(y\) tiende a disminuir.
   3. \(r=\dfrac{-3{,}400}{1{,}414\cdot2{,}449}=-0{,}9815\). Correlación negativa muy fuerte: si \(x\) aumenta, \(y\) disminuye casi linealmente. Como \(|r|\) está muy cerca de 1, los puntos están casi alineados sobre una recta de pendiente negativa.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(n=5\); \(\sum x=30\), \(\sum y=140\), \(\sum x^2=220\), \(\sum y^2=4398\), \(\sum xy=978\). Medias: \(\bar x=6\), \(\bar y=28\). Varianzas: \(\sigma_x^2=8\) y \(\sigma_y^2=95{,}600\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=27{,}600\). Desviaciones: \(\sigma_x=2{,}828\), \(\sigma_y=9{,}778\). Entonces \(b=\dfrac{27{,}60}{8}=3{,}450\) y \(a=28-3{,}450\cdot6=7{,}300\). Recta: \(y=3{,}450\,x+7{,}300\).
   2. \(y(7)=3{,}450\cdot7+7{,}300=31{,}45\), unos 31 clientes.
   3. \(r=0{,}9980\) (casi 1) y \(x=7\) está dentro del intervalo de datos (2 a 10): es una interpolación y la estimación es fiable. El coeficiente de determinación, \(r^2\approx0{,}996\), indica que la recta explica casi toda la variación.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Correlación positiva fuerte: los meses con más helados tienden a tener más insolaciones.
   2. \(r^2=0{,}81\): el 81 % de la variación de las insolaciones se asocia linealmente con las ventas de helados.
   3. No. La correlación no implica causalidad: ambas variables dependen de una tercera, la temperatura (más calor, más helados y más insolaciones).
   4. No: 5 grados está fuera del rango de datos (20 a 35); sería extrapolar y el comportamiento puede ser distinto.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(n=6\); \(\sum x=90\), \(\sum y=910\), \(\sum x^2=1420\), \(\sum y^2=144900\), \(\sum xy=12960\). Medias: \(\bar x=15\), \(\bar y=151{,}667\). Varianzas: \(\sigma_x^2=11{,}667\) y \(\sigma_y^2=1147{,}222\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=-115\). Desviaciones: \(\sigma_x=3{,}416\), \(\sigma_y=33{,}871\).
   2. \(r=\dfrac{-115}{3{,}416\cdot33{,}871}=-0{,}9940\): correlación negativa muy fuerte (si sube el precio, bajan las ventas).
   3. \(b=\dfrac{-115}{11{,}67}=-9{,}857\) y \(a=151{,}67-(-9{,}857)\cdot15=299{,}52\). Recta: \(y=-9{,}857\,x+299{,}52\).
   4. \(y(15)=-9{,}857\cdot15+299{,}52=151{,}7\) camisetas; ingresos \(=15\cdot151{,}7=2275\) €.
   5. \(r^2=0{,}9881\): el 98,8 % de la variación de las ventas se explica por el precio. El modelo lineal es muy adecuado en el rango de 10 a 20 euros.

Total : 20 puntos