Estadística bidimensional – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Propiedad

La estadística bidimensional estudia dos variables \(X\) e \(Y\) medidas sobre los mismos individuos. Los datos son pares \((x_i,y_i)\) y se representan en una nube de puntos (diagrama de dispersión). Si hay muchos datos repetidos se organizan en una tabla de doble entrada, con frecuencias conjuntas \(f_{ij}\) y distribuciones marginales (la suma de cada fila o columna). La distribución condicionada estudia una variable fijando un valor de la otra: \(f(y\mid x)=\frac{f_{xy}}{f_x}\).

Propiedad

Se calculan las medias \(\bar x\) y \(\bar y\) (el centro de gravedad de la nube), las varianzas \(\sigma_x^2=\frac{\sum x_i^2}{n}-\bar x^2\), \(\sigma_y^2=\frac{\sum y_i^2}{n}-\bar y^2\) y la covarianza \[\sigma_{xy}=\frac{\sum x_iy_i}{n}-\bar x\,\bar y.\] La covarianza es positiva si al crecer \(x\) tiende a crecer \(y\), y negativa en caso contrario.

Propiedad

Para \(x=5\) predice \(y=6{,}3\), una interpolación fiable; para \(x=12\), \(y=14\), una extrapolación menos fiable porque está fuera del rango de datos. La predicción es tanto más fiable cuanto mayor es \(|r|\) y cuantos más datos haya.

Propiedad

Si la nube sigue una curva, un modelo lineal no es adecuado aunque \(r\) sea alto. Los puntos \((1,1),(2,4),(3,9),(4,16)\) siguen \(y=x^2\) (regresión cuadrática); la recta \(y=5x-5\) da \(r\approx0{,}984\), pero en \(x=5\) predice 20 cuando el valor real es 25. Conviene siempre mirar la nube antes de calcular \(r\).

Propiedad: valores de r

El coeficiente \(r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\) siempre cumple \(-1\le r\le1\). El signo es el de la covarianza: positivo si las variables crecen juntas, negativo si una crece mientras la otra decrece. Su valor absoluto mide la fuerza: si \(|r|\) es mayor que \(0{,}9\) la correlación es muy fuerte; entre \(0{,}7\) y \(0{,}9\) es fuerte; entre \(0{,}4\) y \(0{,}7\) es moderada; y por debajo de \(0{,}4\) es débil. Si \(r=\pm1\) todos los puntos están sobre una recta y si \(r=0\) no hay relación lineal.

Propiedad: coeficiente de determinación

El cuadrado \(r^2\) se llama coeficiente de determinación y es el porcentaje de la variación de \(Y\) que explica la recta de regresión. Con \(r=0{,}9\) tenemos \(r^2=0{,}81\): el \(81\ \%\) de la variación de \(Y\) se explica por \(X\) y el \(19\ \%\) restante depende de otros factores. Además, \(r^2=b_{yx}\cdot b_{xy}\), el producto de las pendientes de las dos rectas.

Propiedad: invariancia de r

Si cambiamos las unidades con una transformación lineal \(x'=ax+b\), \(y'=cy+d\) con \(a\) y \(c\) del mismo signo, el coeficiente de correlación no cambia; si tienen signo distinto, solo cambia el signo de \(r\). En cambio, las pendientes de las rectas sí dependen de las unidades: pasar la altura de centímetros a metros multiplica por 100 la pendiente de la recta del peso sobre la altura.