Derivadas – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (3 puntos)

   1. Regla del producto con \(u=x^2\) y \(v=e^x\): \(f'=2x\,e^x+x^2e^x\). Sacando factor común, \(f'(x)=(x^2+2x)e^x\). Comprobación: \(f'(0)=0\), lo que concuerda con que \(f(x)=x^2e^x\ge0\) tiene un mínimo en \(x=0\).
   2. Regla del cociente con \(u=2x+1\) y \(v=x^2+1\): \(g'=\dfrac{2(x^2+1)-(2x+1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2x^2+2-4x^2-2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-2x^2-2x+2}{(x^2+1)^2}\). Sacando factor común \(-2\), \(g'(x)=\dfrac{-2(x^2+x-1)}{(x^2+1)^2}\); el denominador nunca se anula, así que \(g\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\).
   3. Regla de la cadena: la exterior es la raíz y la interior \(x^2+4\), con derivada \(2x\). Así \(h'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+4}}\cdot2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}\). El resultado tiene el mismo signo que \(x\): \(h\) decrece para \(x\lt 0\) y crece para \(x\gt 0\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(f(2+h)-f(2)=(4+4h+h^2+6+3h)-10=7h+h^2\). El cociente vale \(7+h\), que tiende a 7. Luego \(f'(2)=7\). Se aplica \(f'(2)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\), con \(f(2)=4+6=10\). Al dividir \(7h+h^2\) entre \(h\) desaparece la indeterminación \(\frac00\). Comprobación con las reglas: \(f'(x)=2x+3\) y \(f'(2)=7\).
   2. Continuidad: \(g(2)=4\) y \(2a-4=4\Rightarrow a=4\) (1,25 puntos). Derivadas: por la izquierda \(2x=4\) y por la derecha \(a=4\). Coinciden, de modo que con \(a=4\) es continua y derivable (1,25 puntos). Primero se impone la continuidad, porque sin ella no puede haber derivabilidad. Con \(a=4\) la gráfica enlaza la parábola con su recta tangente \(y=4x-4\) en el punto \((2,4)\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Derivamos cada sumando: \(f'(x)=\frac1x+2x\). Para \(x=1\): \(f(1)=\ln1+1=0+1=1\), así que el punto es \((1,1)\), y la pendiente es \(f'(1)=1+2=3\).
   2. La tangente pasa por \((1,1)\) con pendiente 3: \(y-1=3(x-1)\), es decir, \(y=3x-2\). Comprobación: \(3\cdot1-2=1\), así que la recta pasa por el punto.
   3. La normal es perpendicular a la tangente, con pendiente \(-\frac13\): \(y-1=-\frac13(x-1)\), es decir, \(y=-\frac{x}{3}+\frac43\). Comprobación: el producto de las pendientes es \(3\cdot\left(-\frac13\right)=-1\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\), que se anula en \(x=-2\) y \(x=2\). Estudiando el signo: es positiva en \((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\), donde \(f\) crece, y negativa en \((-2,2)\), donde decrece.
   2. En \(x=-2\) pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en \((-2,21)\), ya que \(f(-2)=-8+24+5=21\). En \(x=2\) pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en \((2,-11)\), ya que \(f(2)=8-24+5=-11\).
   3. \(f''(x)=6x\): negativa si \(x\lt 0\) (cóncava hacia abajo) y positiva si \(x\gt 0\) (hacia arriba). Cambia de signo en \(x=0\), con \(f(0)=5\): punto de inflexión \((0,5)\).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(B(x)=(x-10)(500-10x)=-10x^2+600x-5\,000\). Tiene sentido para \(10\le x\le50\). Beneficio = (precio de venta − coste) × pares vendidos. El precio no puede bajar de 10 € (habría pérdidas en cada par) ni superar 50 € (no se vendería ninguno).
   2. \(B'(x)=-20x+600=0\Rightarrow x=30\) €. Es máximo porque \(B''=-20\lt 0\). Se deriva, se iguala a cero y se confirma con el signo de la segunda derivada.
   3. \(B(30)=20\cdot200=4\,000\) € y se venden \(500-300=200\) pares. Comprobación con la fórmula desarrollada: \(B(30)=-9\,000+18\,000-5\,000=4\,000\) €.
   4. Con coste 20 €: \(B=(x-20)(500-10x)\) y \(B'=500-10x-10(x-20)=700-20x=0\), de donde \(x=35\) €. Sí cambia: sube 5 €. Con ese coste se venderían \(500-350=150\) pares y el beneficio máximo sería \(15\cdot150=2\,250\) €.

Total : 20 puntos