Estadística bidimensional – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: ejercicios para descargar en PDF

En una clase de 1.º de Bachillerato de 25 alumnos se ha preguntado por el número de hermanos (\(X\)) y por el número de mascotas en casa (\(Y\)). Los resultados están en la tabla de doble entrada.

1. Completa los totales de filas y de columnas y escribe las distribuciones marginales de \(X\) y de \(Y\).
2. Calcula las medias \(\bar x\) y \(\bar y\) a partir de las distribuciones marginales.
3. ¿Qué porcentaje de alumnos tiene exactamente un hermano y una mascota?
4. Entre los alumnos con una mascota, ¿qué porcentaje tiene un hermano? Esta es una distribución condicionada.

Cinco alumnos han hecho una prueba teórica (\(X\)) y una práctica (\(Y\)), ambas sobre 10. Las notas son \((2,1)\), \((4,3)\), \((5,4)\), \((7,5)\) y \((7,7)\). La figura muestra la nube de puntos.

1. Describe la forma de la nube: ¿tiende a subir, a bajar o es dispersa?
2. ¿Qué signo tendrá la covarianza? ¿La correlación es fuerte o débil?
3. En cada situación indica si esperas correlación positiva, negativa o casi nula: (i) edad de un coche y su valor; (ii) altura y talla de zapato; (iii) día de nacimiento del mes y nota de matemáticas.

Con los datos de las cinco notas del ejercicio anterior, \((2,1)\), \((4,3)\), \((5,4)\), \((7,5)\), \((7,7)\), calcula los parámetros de cada variable.

1. Calcula \(\sum x\), \(\sum y\), \(\sum x^2\), \(\sum y^2\) y \(\sum xy\).
2. Calcula las medias \(\bar x\) y \(\bar y\).
3. Calcula las varianzas \(\sigma_x^2\) y \(\sigma_y^2\) y las desviaciones típicas.
4. ¿Qué variable está más dispersa? Compara con los coeficientes de variación.

Continuamos con los datos \((2,1)\), \((4,3)\), \((5,4)\), \((7,5)\), \((7,7)\), cuyas medias son \(\bar x=5\) y \(\bar y=4\) y cuyas varianzas son \(\sigma_x^2=3{,}6\) y \(\sigma_y^2=4\).

1. Calcula la covarianza \(\sigma_{xy}=\dfrac{\sum xy}{n}-\bar x\,\bar y\).
2. Calcula el coeficiente de correlación lineal \(r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\).
3. Interpreta el valor de \(r\).
4. Calcula \(r^2\) e interpreta el resultado como porcentaje.

Con los mismos datos, \(\bar x=5\), \(\bar y=4\), \(\sigma_x^2=3{,}6\) y \(\sigma_{xy}=3{,}6\), queremos predecir la nota práctica a partir de la teórica.

1. Calcula la pendiente \(b_{yx}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\).
2. Escribe la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\), \(y-\bar y=b_{yx}(x-\bar x)\).
3. Estima la nota práctica de un alumno con un 6 en teoría.
4. Interpreta la pendiente.

Con los datos anteriores, además de la recta de \(Y\) sobre \(X\) existe la de \(X\) sobre \(Y\), que sirve para predecir \(x\) a partir de \(y\). Sabemos \(\sigma_y^2=4\) y \(\sigma_{xy}=3{,}6\).

1. Calcula \(b_{xy}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}\) y escribe la recta de \(X\) sobre \(Y\).
2. Estima la nota teórica de un alumno con un 6 en la práctica.
3. Comprueba que \(b_{yx}\cdot b_{xy}=r^2\).
4. Comprueba que las dos rectas se cortan en el punto de medias \((\bar x,\bar y)\).

El dueño de una heladería de Cádiz anota la temperatura máxima del día (\(X\), en °C) y los helados que vende (\(Y\)) durante seis días de verano. Quiere saber cuántos helados preparar según el parte meteorológico.

1. Dibuja mentalmente la nube de puntos y di qué tipo de correlación hay.
2. Calcula las medias, las varianzas y la covarianza. Redondea a dos decimales.
3. Calcula \(r\) y la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) (pendiente con tres decimales).
4. Estima cuántos helados venderá si el parte anuncia 32 °C y explica por qué la predicción es fiable.

Una web de coches de ocasión muestra, para el mismo modelo, la edad del vehículo (\(X\), en años) y su precio (\(Y\), en miles de euros). Un estudiante de Murcia quiere comprar uno de 6 años y le interesa saber cuánto es razonable pagar.

1. Indica el signo de la correlación y calcula \(r\).
2. Halla la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) con tres decimales en la pendiente.
3. Estima el precio de un coche de 6 años.
4. Interpreta la pendiente. ¿Es sensato usar la recta para un coche de 20 años?

Un profesor de un instituto de Zaragoza recoge las horas semanales que dedican a estudiar matemáticas ocho alumnos (\(X\)) y su nota en el trimestre (\(Y\)).

1. Calcula \(\bar x\), \(\bar y\) y la covarianza.
2. Calcula la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) en forma de fracción y en decimales.
3. Estima la nota de un alumno que estudia 6,5 horas.
4. ¿Cuántas horas semanales corresponderían a un 9 según la recta? ¿Cuál es el inconveniente de usar esta recta para ese cálculo?

Una tienda de ropa deportiva de Bilbao ha invertido en publicidad (\(X\), en miles de euros al mes) y ha anotado las ventas del mes (\(Y\), en miles de euros) en cinco meses distintos: \((1,12)\), \((2,15)\), \((3,19)\), \((4,22)\) y \((5,25)\).

1. Calcula las medias, las varianzas y la covarianza.
2. Calcula \(r\) y la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).
3. Estima las ventas si invierte 4,5 miles de euros y también si invierte 10 miles.
4. ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable? Razónalo.

En un instituto se ha preguntado a 20 alumnos por las horas diarias que pasan con pantallas de ocio (\(X\)) y se ha anotado su nota media (\(Y\)). Los datos vienen agrupados con su frecuencia absoluta \(f\).

1. Comprueba que \(n=20\) y calcula \(\bar x\) e \(\bar y\) con las frecuencias.
2. Calcula \(\sigma_x^2\), \(\sigma_y^2\) y \(\sigma_{xy}\).
3. Calcula \(r\) y la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).
4. Estima la nota media de un alumno que dedica 2,5 horas y comenta qué significa el signo.

De una muestra se conocen los parámetros \(\bar x=10\), \(\bar y=50\), \(\sigma_x=2\), \(\sigma_y=8\) y el coeficiente de correlación \(r=0{,}9\).

1. Calcula la covarianza \(\sigma_{xy}=r\,\sigma_x\sigma_y\).
2. Halla la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).
3. Halla la recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\).
4. Estima \(y\) para \(x=12\) y \(x\) para \(y=60\).

Una muestra tiene \(\bar x=4\), \(\bar y=7\), \(\sigma_x^2=4\), \(\sigma_y^2=9\) y \(\sigma_{xy}=-5{,}4\).

1. Calcula \(r\) e interpreta su signo y su valor.
2. Escribe las dos rectas de regresión.
3. Comprueba que \(b_{yx}\,b_{xy}=r^2\).
4. Calcula el punto de corte de las dos rectas resolviendo el sistema.

Con los datos de los coches de segunda mano (ejercicio 8) la recta es \(y\approx-1{,}171x+16{,}05\) (\(x\) en años, \(y\) en miles de euros) y \(r\approx-0{,}995\).

1. Calcula \(r^2\) e interpreta el valor.
2. Estima el precio con 3 años y con 8 años. ¿Son interpolaciones o extrapolaciones?
3. ¿Qué precio da la recta con 14 años? ¿Es creíble?
4. ¿Cuál es el valor máximo de \(x\) para que el precio estimado sea positivo? Comenta.

Un canal de baloncesto de un instituto de Alicante abre un perfil en una red social. El número de seguidores (en centenas) al cabo de \(x\) semanas es el de la tabla. Parece crecer de forma exponencial, \(y=a\cdot b^x\), y queremos comprobarlo con un ajuste lineal de los logaritmos.

1. Calcula \(z=\ln y\) para cada semana (tres decimales) y comprueba si los puntos \((x,z)\) están alineados.
2. La recta de regresión de \(Z\) sobre \(X\) es \(z\approx1{,}103+0{,}693x\) (\(r\approx0{,}9998\)). Deduce \(a\) y \(b\) en \(y=a\cdot b^x\).
3. ¿Qué significa el valor de \(b\) en este contexto?
4. Estima los seguidores en la semana 6 y comenta la fiabilidad.

Una familia de Burgos quiere entender su gasto en calefacción. Ha anotado la temperatura media exterior del mes (\(X\), en °C) y el gas consumido (\(Y\), en kWh) durante seis meses de invierno y primavera.

1. Calcula las medias y las varianzas de \(X\) e \(Y\).
2. Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación.
3. Escribe la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) e interpreta la pendiente.
4. Estima el consumo de un mes a 10 °C. ¿Qué consumo daría a 35 °C? ¿Tiene sentido?

El entrenador de un equipo juvenil de baloncesto de Girona ha medido la altura (\(X\), en cm) y el peso (\(Y\), en kg) de seis jugadores: \((170,65)\), \((175,72)\), \((180,75)\), \((185,82)\), \((190,88)\) y \((198,95)\). Con esos datos quiere estimar el peso de dos fichajes: uno de 195 cm y otro de 210 cm.

1. Calcula las medias y comprueba que \(\bar x=183\) e \(\bar y=79{,}5\).
2. Calcula \(\sigma_x^2\), \(\sigma_{xy}\) y la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).
3. Calcula \(r\) y valora la calidad del ajuste.
4. Estima el peso de los dos fichajes y razona cuál de las dos estimaciones es más fiable.

Seis alumnos han anotado las horas de ensayo (\(X\)) y los puntos obtenidos en un concurso de música (\(Y\)): \((1,2)\), \((2,3)\), \((3,5)\), \((4,4)\), \((5,6)\), \((6,7)\). Un séptimo alumno aporta el dato \((7,20)\), que es claramente atípico (una errata de la hoja de resultados).

1. Con los seis primeros datos calcula \(r\) y la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).
2. Añade el dato \((7,20)\) y calcula de nuevo \(r\) y la recta.
3. Compara las predicciones para \(x=7\) con y sin el dato atípico.
4. Explica qué enseña este ejemplo sobre los valores extremos.

En seis localidades costeras se han anotado las ventas de helados en la temporada (\(X\), en miles de unidades) y el número de rescates en playas (\(Y\)). Los pares son \((2,1)\), \((3,2)\), \((5,2)\), \((6,4)\), \((8,5)\) y \((9,5)\). Un periodista escribe: «comer helados provoca accidentes en el mar».

1. Calcula \(r\) y la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).
2. Interpreta el valor de \(r\).
3. Explica por qué la conclusión del periodista no es correcta y propón una variable que explique ambos fenómenos.
4. Da otro ejemplo de dos variables muy correlacionadas sin relación de causa y efecto.

Con los datos de los jugadores del ejercicio 17, la altura \(X\) está en centímetros y el peso \(Y\) en kilogramos, con \(b_{yx}\approx1{,}075\) y \(r\approx0{,}996\). Un compañero propone medir la altura en metros (\(X'=X/100\)) y el peso en gramos (\(Y'=1\,000\,Y\)).

1. Calcula cómo cambian las medias y las desviaciones típicas.
2. Demuestra que la covarianza se multiplica por \(\frac{1\,000}{100}=10\) y que \(r\) no cambia.
3. Calcula la nueva pendiente \(b_{y'x'}\) e interprétala.
4. Si midiéramos el peso con signo contrario (\(Y''=-Y\)), ¿qué ocurre con \(r\) y con la pendiente?