Estos apuntes de derivadas de 1º Bachillerato Ciencias están pensados para alumnos de 16-17 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Definición de derivada a partir del estudio del cambio. Antes de empezar, conviene repasar funciones elementales y límites y continuidad, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de derivadas 1º Bachillerato Ciencias: lo que vas a aprender
En este tema aprenderás: tasa de variación y derivada, reglas de derivación, recta tangente y normal y crecimiento, extremos y optimización. Cada idea va en un cuadro de color, con ejemplos resueltos paso a paso.
Actividad de introducción: la velocidad del ciclista
En la Vuelta a España, un ciclista sube un puerto y su equipo registra la distancia recorrida desde las 10:00 de la mañana: \(s(t)=20t+6t^2\) kilómetros, con \(t\) en horas. ¿Cuál es su velocidad exacta a las 10:30? La velocidad media entre las 10:30 y las 11:30 (una hora) es de 32 km/h, pero eso mezcla un trozo lento con otro más rápido. Reduciendo el intervalo, las velocidades medias se acercan a un valor concreto.
| Duración del intervalo (h), desde las 10:30 | 1 | 0,5 | 0,1 | 0,01 |
|---|---|---|---|---|
| Velocidad media (km/h) | 32 | 29 | 26,6 | 26,06 |
El cociente vale \(26+6h\), que tiende a 26 cuando \(h\to0\). Esa velocidad instantánea, 26 km/h, es la derivada \(s'(0{,}5)\). En este tema convertirás esta idea en una herramienta general para calcular pendientes de curvas, velocidades de cambio y valores óptimos.
Tasa de variación y derivada
Definición: tasa de variación media
La tasa de variación media de \(f\) en \([a,b]\) es \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) (la pendiente de la recta secante). La derivada de \(f\) en \(a\) es el límite de la tasa media cuando el intervalo se hace infinitamente pequeño: \[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\] Mide la tasa de variación instantánea y es la pendiente de la recta tangente en \(x=a\). Para \(f(x)=x^2\) en \(a=2\): \(\frac{(2+h)^2-4}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=4+h\to4\). Si el límite existe, \(f\) es derivable en \(a\); toda función derivable es continua, pero no al revés (\(|x|\) no es derivable en 0).
Reglas de derivación
| Función | Derivada |
|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt x}\) |
| \(e^x\), \(a^x\) | \(e^x\), \(a^x\ln a\) |
| \(\ln x\) | \(\frac1x\) |
| \(\operatorname{sen}x\), \(\cos x\), \(\tan x\) | \(\cos x\), \(-\operatorname{sen}x\), \(\frac{1}{\cos^2x}\) |
Propiedad
Operaciones: \((f\pm g)'=f'\pm g'\); \((kf)'=kf'\); producto \((fg)'=f'g+fg'\); cociente \(\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)\).
Ejemplo 1
\(\left(5x^3-4x^2+7x-2\right)'=15x^2-8x+7\).
Con el producto: \(\left[(x^2+1)(x-3)\right]'=2x(x-3)+(x^2+1)=3x^2-6x+1\). Con el cociente: \(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)'=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}\). Con la cadena: \(\left[(3x-2)^5\right]'=5(3x-2)^4\cdot3=15(3x-2)^4\) y \(\left[\ln(x^2+1)\right]'=\frac{2x}{x^2+1}\).
Ejemplo 2: derivada de un cociente
Deriva \(f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\).
Con la regla del cociente, \(f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\).
Recta tangente y normal
Definición: normal
La tangente en \(x=a\) es \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\). La normal es perpendicular a ella: \(y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\).
Ejemplo 3
Para \(f(x)=x^2-2x+3\) en \(x=2\): \(f(2)=3\), \(f'(x)=2x-2\), \(f'(2)=2\).
Tangente: \(y-3=2(x-2)\Rightarrow y=2x-1\).
Cómo se hace: hallar la recta tangente a una curva en un punto
- Calcula la ordenada \(f(a)\) para tener el punto \((a,f(a))\).
- Deriva \(f\) y calcula la pendiente \(m=f'(a)\).
- Escribe \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\).
- Para la normal, usa la pendiente \(-\frac{1}{f'(a)}\) (si \(f'(a)\neq0\)).
Crecimiento, extremos y optimización
Propiedad
Si \(f'(x)>0\) en un intervalo, \(f\) es creciente; si \(f'(x)<0\), es decreciente. Los extremos relativos están en puntos con \(f'(x)=0\) (puntos críticos): máximo si \(f'\) pasa de \(+\) a \(-\), mínimo si pasa de \(-\) a \(+\).
Ejemplo 4
\(f(x)=x^3-3x^2\)
\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Es positiva si \(x<0\) o \(x>2\) (creciente) y negativa en \((0,2)\) (decreciente). Máximo en \((0,0)\) y mínimo en \((2,-4)\).
Definición: optimización
Un problema de optimización se resuelve (1) escribiendo la magnitud a optimizar como función de una variable, (2) derivando e igualando a 0 y (3) comprobando que es máximo o mínimo. Con 100 m de valla, un rectángulo junto a un muro (tres lados) tiene área \(A(x)=x(100-2x)\); \(A'(x)=100-4x=0\Rightarrow x=25\) y \(A=25\cdot50=1250\) m\(^2\).
Regla
En física, si \(s(t)\) es la posición, la velocidad es \(v=s'(t)\) y la aceleración \(a=v'(t)=s''(t)\).
Cómo se hace: estudiar el crecimiento y los extremos
- Calcula \(f'(x)\) y resuelve \(f'(x)=0\) (puntos críticos).
- Estudia el signo de \(f'\) en los intervalos que determinan los puntos críticos y los puntos fuera del dominio.
- Si \(f'\) pasa de \(+\) a \(-\), hay un máximo; de \(-\) a \(+\), un mínimo.
- Calcula las ordenadas de los extremos y escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo 5: rectángulo de área máxima
Un rectángulo tiene perímetro 40 m. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?
Si un lado mide \(x\), el otro mide \(20-x\) y \(A(x)=x(20-x)=20x-x^2\). Entonces \(A'(x)=20-2x=0\) da \(x=10\), y \(A''=-2<0\) confirma que es un máximo. Es un cuadrado de \(10\times10\) m, con \(A=100\) m\(^2\).
¡Atención! Errores frecuentes
- Derivar el producto como \(f'g'\), o el cociente como \(\frac{f'}{g'}\).
- Olvidar el factor \(g'(x)\) de la regla de la cadena.
- Pensar que \(f'(a)=0\) siempre indica máximo o mínimo (en \(x^3\) en 0 no lo hay).
- Escribir la tangente sin calcular antes \(f(a)\).
Interpretaciones de la derivada
Propiedad: significado de la derivada en cada contexto
La derivada \(f'(a)\) siempre mide lo mismo: cuánto cambia \(f\) por cada unidad que cambia \(x\), justo en \(x=a\). Sus unidades son unidades de \(f\) entre unidades de \(x\). Si \(s\) son kilómetros y \(t\) horas, \(s'\) se mide en km/h y es la velocidad; si \(C\) son euros y \(x\) kilogramos, \(C'\) se mide en €/kg y es el coste marginal; si \(P\) es una población y \(t\) el tiempo, \(P'\) es la velocidad de crecimiento. Cuando \(f'(a)>0\) la magnitud aumenta, y cuando \(f'(a)<0\) disminuye.
Cómo se hace: interpretar una derivada en un problema
- Escribe qué magnitud representa \(f\) y cuál representa \(x\), con sus unidades.
- Calcula \(f'(x)\) y sustituye el valor pedido.
- Escribe el resultado con sus unidades y con una frase: «en ese instante, la magnitud aumenta (o disminuye) a razón de…».
- Comprueba que la cifra es razonable comparándola con una tasa media cercana.
Ejemplo 6
Un depósito de agua se vacía y su volumen en litros es \(V(t)=2\,000-50t-t^2\), con \(t\) en minutos. Interpreta \(V'(10)\).
Primero \(V'(t)=-50-2t\) y entonces \(V'(10)=-70\). El signo negativo indica que el volumen disminuye, y el valor que en ese instante salen unos 70 litros por minuto. La tasa media entre \(t=10\) y \(t=11\) es \(V(11)-V(10)=1\,329-1\,400=-71\) l/min, muy parecida: la comprobación confirma el cálculo.
Derivadas laterales y puntos angulosos
Definición: derivadas laterales
La derivada por la izquierda \(f'(a^-)\) es el límite del cociente incremental cuando \(h\to0^-\), y la derivada por la derecha \(f'(a^+)\) es el mismo límite cuando \(h\to0^+\). Una función es derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las dos derivadas laterales existen y coinciden. Si son distintas, la gráfica tiene un punto anguloso (una esquina) y no hay recta tangente única.
Ejemplo 7
Estudia la derivabilidad de \(f(x)=|x-1|\) en \(x=1\).
A la izquierda, \(f(x)=1-x\) y su derivada vale \(-1\). A la derecha, \(f(x)=x-1\) y su derivada vale \(1\). Como \(f'(1^-)=-1\ne1=f'(1^+)\), la función es continua pero no derivable en \(x=1\): su gráfica tiene una esquina con forma de V.
¡Atención! derivable implica continua, pero no al revés
Una función derivable en un punto siempre es continua en él. Lo contrario es falso: \(|x|\) es continua en 0 y no es derivable. Antes de comprobar la derivabilidad de una función definida a trozos, comprueba siempre primero la continuidad; si no es continua en el punto, no puede ser derivable y no hace falta calcular nada más.
Curvatura y puntos de inflexión
Definición: curvatura e inflexión
La derivada de \(f'\) se llama segunda derivada \(f''\). Mide cómo cambia la pendiente. Si \(f''(x)>0\) en un intervalo, la pendiente aumenta y la gráfica se curva hacia arriba (forma de copa abierta); si \(f''(x)<0\), la gráfica se curva hacia abajo. Un punto de inflexión es un punto donde la curvatura cambia de sentido; en él \(f''=0\) (y la curvatura cambia de signo).
Regla: criterio de la segunda derivada
Si \(f'(a)=0\) y \(f''(a)>0\), hay un mínimo relativo en \(a\). Si \(f'(a)=0\) y \(f''(a)<0\), hay un máximo relativo. Si \(f''(a)=0\), el criterio no decide y hay que volver a la tabla de signos de \(f'\).
Ejemplo 8
Estudia la curvatura de \(f(x)=x^4-6x^2\).
Tenemos \(f'(x)=4x^3-12x\) y \(f''(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)\). La segunda derivada es positiva si \(x<-1\) o \(x>1\) y negativa en \((-1,1)\). La gráfica se curva hacia arriba fuera de \([-1,1]\) y hacia abajo dentro. Hay dos puntos de inflexión, \((-1,-5)\) y \((1,-5)\).
Problemas de optimización
Cómo se hace: resolver un problema de optimización
- Lee el problema y dibuja la situación; nombra las variables con letras y unidades.
- Escribe la magnitud que se quiere maximizar o minimizar (área, volumen, coste, beneficio).
- Usa la condición del enunciado para dejarla en función de una sola variable y fija el dominio.
- Deriva, iguala a cero y resuelve; descarta las soluciones fuera del dominio.
- Comprueba que es máximo o mínimo con \(f''\) o con la tabla de signos, y compara con los extremos del dominio si estos pertenecen a él.
- Responde con una frase completa que incluya todas las magnitudes pedidas.
Ejemplo 9
Con una cuerda de 40 m se forma un rectángulo. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?
Si un lado mide \(x\), el otro mide \(20-x\), porque el perímetro es 40. El área es \(A(x)=x(20-x)=20x-x^2\) con \(0<x<20\). Derivamos: \(A'(x)=20-2x=0\) y entonces \(x=10\). Como \(A''=-2<0\) es un máximo. El rectángulo es un cuadrado de 10 m de lado y su área es de 100 m\(^2\).
¿Sabías que? Un invento de dos genios
El cálculo diferencial fue desarrollado de forma independiente por Isaac Newton y por Gottfried Leibniz en el siglo XVII. Newton lo pensó para estudiar el movimiento de los planetas y llamó «fluxiones» a las velocidades de cambio. Leibniz creó la notación \(\frac{dy}{dx}\) que todavía usamos. Mucho antes, Pierre de Fermat ya buscaba máximos y mínimos con ideas muy parecidas. Hoy, las derivadas están en el diseño de coches, en la economía y en los algoritmos que aprenden de los datos.
El consejo de Otto
En una cadena de funciones, deriva de fuera hacia dentro: primero la exterior (dejando el interior igual) y multiplica por la derivada del interior.
Cómo usar los apuntes de derivadas de 1º Bachillerato Ciencias
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de derivadas y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de derivadas y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de derivadas de 1º Bachillerato Ciencias reúnen todo lo necesario para el tema.
En resumen, practicar a menudo funciona mejor que una sesión larga. Por ejemplo, diez minutos al día suelen bastar. Además, los errores son útiles, porque muestran qué repasar. Luego, cuando un método te parezca fácil, prueba un ejercicio más difícil. Así, ganas confianza poco a poco.
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