Estos apuntes de estadística bidimensional y regresión lineal de 4º ESO están pensados para alumnos de 15-16 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Tablas de contingencia, nubes de puntos y ajuste lineal con herramientas tecnológicas. Antes de empezar, conviene repasar geometría analítica: la recta (Matemáticas B) y estadística: medidas de localización y dispersión, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de estadística bidimensional y regresión lineal 4º ESO: lo que vas a aprender
En este tema aprenderás: dos variables a la vez, tablas de contingencia, nube de puntos y correlación, covarianza y coeficiente de correlación, recta de regresión, predicciones y correlación no es causalidad. Cada idea va en un cuadro de color, con ejemplos resueltos paso a paso.
Actividad de introducción: ¿estudiar más sirve para sacar mejor nota?
Un profesor de un instituto de Salamanca anota para seis alumnos las horas que estudian a la semana y la nota que obtienen: \((1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,8),(6,9)\). Si colocas esos pares como puntos en unos ejes, observarás que forman una nube que sube de izquierda a derecha: a más horas, mejor nota. Pero ¿cómo de fuerte es esa relación? ¿Se puede predecir la nota de un alumno que estudia \(4{,}5\) horas? Hasta ahora has estudiado una sola variable cada vez. Ahora estudiarás dos variables a la vez: cómo se organizan los datos en una tabla de doble entrada, cómo se mide la relación entre ellas con la covarianza y el coeficiente de correlación y cómo se usa la recta de regresión para hacer predicciones razonables.
Dos variables a la vez
Propiedad
En la estadística bidimensional se observan dos variables \(X\) e \(Y\) sobre los mismos individuos: horas de estudio y nota, edad de un coche y precio, estatura y peso. Los datos son pares \((x_i,y_i)\). Si las variables son cualitativas o están agrupadas se usa una tabla de contingencia (de doble entrada); si son numéricas se representan en una nube de puntos (diagrama de dispersión).
Tablas de contingencia
En una encuesta a 100 alumnos se anotó el deporte y el sexo:
| Chicos | Chicas | Total | |
|---|---|---|---|
| Fútbol | 30 | 10 | 40 |
| Baloncesto | 15 | 25 | 40 |
| Ninguno | 5 | 15 | 20 |
| Total | 50 | 50 | 100 |
Definición: distribuciones marginales
Los totales son las distribuciones marginales. Una distribución condicionada se obtiene fijando una categoría: entre las chicas, \(\frac{25}{50}=50\,\%\) practican baloncesto, frente a \(\frac{15}{50}=30\,\%\) de los chicos. Como los porcentajes cambian, las variables están relacionadas: si fueran independientes, el porcentaje sería el mismo en cada grupo. La frecuencia relativa conjunta de «chica y baloncesto» es \(\frac{25}{100}=0{,}25\).
Nube de puntos y correlación
Observación
La nube de puntos muestra si existe relación entre las variables y qué forma tiene. La correlación es lineal si los puntos se agrupan alrededor de una recta.
Propiedad: nube de puntos y correlación
- Positiva: al aumentar \(x\), \(y\) tiende a aumentar.
- Negativa: al aumentar \(x\), \(y\) tiende a disminuir.
- Nula: los puntos no siguen ningún patrón lineal.
- Es más fuerte cuanto más cerca de la recta están los puntos.
Covarianza y coeficiente de correlación
Propiedad
Con las medias \(\bar{x}\), \(\bar{y}\) y las desviaciones típicas \(\sigma_x\), \(\sigma_y\), se define la covarianza \[\sigma_{xy}=\frac{\sum x_iy_i}{n}-\bar{x}\,\bar{y}\] y el coeficiente de correlación lineal \(r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y}\). Siempre se cumple \(-1\le r\le1\). El signo de \(r\) es el de la covarianza; si \(|r|\) es próximo a 1 la relación lineal es fuerte; si es próximo a 0, débil o nula.
Ejemplo 1
Horas de estudio \(x=1,2,3,4,5\) y nota \(y=3,4,6,7,9\). \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=5{,}8\). \(\sum xy=102\), luego \(\sigma_{xy}=20{,}4-3\cdot5{,}8=3\). \(\sigma_x^2=11-9=2\) (\(\sigma_x\approx1{,}41\)) y \(\sigma_y^2=38{,}2-33{,}64=4{,}56\) (\(\sigma_y\approx2{,}14\)). Por tanto \(r=\frac{3}{1{,}41\cdot2{,}14}\approx0{,}99\): correlación positiva muy fuerte.
Recta de regresión
Definición: recta de regresión de \(y\) sobre \(x\)
La recta de regresión de \(y\) sobre \(x\) es la recta que mejor se ajusta a la nube (minimiza los cuadrados de las distancias verticales). Pasa por el punto \((\bar{x},\bar{y})\) y su pendiente es \(b=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\): \[y-\bar{y}=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\,(x-\bar{x}).\] En el ejemplo: \(b=\frac{3}{2}=1{,}5\) y \(y-5{,}8=1{,}5(x-3)\), es decir, \(y=1{,}5x+1{,}3\). La pendiente se interpreta: por cada hora más de estudio, la nota sube de media 1,5 puntos.
Cómo se hace: obtener la recta de regresión de \(y\) sobre \(x\)
- Calcula \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), \(\sigma_x^2\) y \(\sigma_{xy}\).
- Halla la pendiente \(m=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\).
- Escribe \(y-\bar{y}=m(x-\bar{x})\) y despeja \(y\).
- Calcula \(r\) para saber si la recta es fiable antes de predecir.
Predicciones
Propiedad
La recta permite estimar \(y\) para un valor de \(x\). Con \(x=2{,}5\) h: \(y=1{,}5\cdot2{,}5+1{,}3=5{,}05\). Es una interpolación (el valor está dentro del rango de datos) y suele ser fiable si \(|r|\) es grande. Para \(x=8\) h daría \(13{,}3\), una nota imposible: es una extrapolación (fuera del rango), poco fiable. La fiabilidad aumenta con \(|r|\) y con el número de datos.
Ejemplo 2: correlación negativa
Antigüedad del coche (años) \(x=1,\dots,5\) y precio (miles de euros) \(y=20,17,15,11,8\): \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=14{,}2\), \(\sigma_{xy}=-6\), \(\sigma_x^2=2\), así que \(b=-3\) y la recta es \(y=-3x+23{,}2\) y \(r\approx-0{,}996\). Cada año de antigüedad resta unos 3 000 € de media.
Ejemplo 3: recta de regresión completa
Con los datos \(x=1,2,3,4\) e \(y=3,5,6,10\), halla la recta de regresión y predice \(y\) para \(x=5\).
\(\bar{x}=2{,}5\), \(\bar{y}=6\), \(\sum xy=71\), \(\sum x^2=30\). Entonces \(\sigma_{xy}=\frac{71}{4}-15=2{,}75\) y \(\sigma_x^2=\frac{30}{4}-6{,}25=1{,}25\). La pendiente es \(m=\frac{2{,}75}{1{,}25}=2{,}2\) y la recta es \(y-6=2{,}2(x-2{,}5)\), es decir, \(y=2{,}2x+0{,}5\). Para \(x=5\), \(y=11{,}5\). Como \(r\approx0{,}96\), la correlación es fuerte y la predicción es fiable (interpolar o extrapolar poco).
Correlación no es causalidad
Observación
Que dos variables estén correlacionadas no significa que una cause la otra. Las ventas de helados y las visitas a la playa suben a la vez en verano porque ambas dependen de la temperatura (variable oculta). Para afirmar una causa hace falta un estudio específico.
¡Atención! Errores frecuentes
- Confundir una correlación fuerte con una causa.
- Usar la recta fuera del rango de datos sin avisar de que es una extrapolación.
- Interpretar \(r\) como pendiente: \(r\) mide la fuerza de la relación, no su inclinación.
- Olvidar que la recta de regresión de \(y\) sobre \(x\) no es la misma que la de \(x\) sobre \(y\).
Cómo leer una correlación
Propiedad: el coeficiente de correlación lineal
El coeficiente \(r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\) cumple \(-1\le r\le1\). Si \(r\) está cerca de \(1\) hay una relación lineal creciente fuerte; cerca de \(-1\), decreciente fuerte; cerca de \(0\), no hay relación lineal. Como orientación, \(|r|>0{,}8\) suele considerarse correlación fuerte, entre \(0{,}5\) y \(0{,}8\) moderada y por debajo de \(0{,}5\) débil. El signo de \(r\) coincide con el de la covarianza y con el de la pendiente de la recta de regresión.
Ejemplo 2
Dos variables tienen \(\sigma_x=3\), \(\sigma_y=5\) y \(\sigma_{xy}=-12\). Calcula \(r\) e interprétalo.
\(r=\dfrac{-12}{3\cdot5}=-0{,}8\): correlación negativa y fuerte. Cuando una variable aumenta, la otra disminuye con bastante regularidad.
Método: estudio completo de dos variables
- Ordena los datos en una tabla con columnas \(x_i\), \(y_i\), \(x_i^2\), \(y_i^2\) y \(x_iy_i\).
- Calcula las sumas y las medias \(\bar{x}\) e \(\bar{y}\).
- Calcula las varianzas \(\sigma_x^2\) y \(\sigma_y^2\) y la covarianza \(\sigma_{xy}\).
- Calcula \(r\) y decide si la relación lineal es fuerte.
- Si lo es, escribe la recta de regresión \(y-\bar{y}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x-\bar{x})\).
- Predice solo dentro del rango de los datos o con mucha prudencia fuera de él.
¡Atención! Errores y límites de la regresión
- Correlación no es causalidad: las ventas de helados y los ahogamientos aumentan en verano, pero los helados no causan ahogamientos; la causa común es el calor.
- \(r=0\) solo dice que no hay relación lineal: una parábola puede tener \(r=0\).
- La extrapolación lejos del rango de datos puede dar resultados absurdos, como precios negativos.
- Un dato atípico puede cambiar mucho \(r\) y la recta: revisa siempre la nube de puntos.
- La recta de \(y\) sobre \(x\) no es la misma que la de \(x\) sobre \(y\), aunque ambas pasan por \((\bar{x},\bar{y})\).
Ejemplo 3
Una recta de regresión es \(y=2{,}5x+4\) y una muestra tiene \(x\) entre \(10\) y \(30\). Predice \(y\) para \(x=20\) y para \(x=100\) y comenta.
Para \(x=20\): \(y=50+4=54\), una predicción fiable porque \(20\) está dentro del rango. Para \(x=100\): \(y=254\), que es una extrapolación muy lejos del rango y no se puede garantizar que la relación siga siendo lineal.
¿Sabías que?
El inglés Francis Galton, primo de Darwin, estudió en el siglo XIX la relación entre la estatura de los padres y de los hijos y observó que los hijos de padres muy altos solían ser altos, pero algo menos que sus padres: lo llamó «regresión a la media», y de ahí viene el nombre de la recta de regresión. Su discípulo Karl Pearson definió después el coeficiente de correlación, que lleva su nombre.
Organizar los cálculos en una tabla
Método: tabla de cálculo para la regresión
- Escribe los datos en dos columnas, \(x_i\) e \(y_i\), y añade tres columnas más: \(x_i^2\), \(y_i^2\) y \(x_iy_i\).
- Suma cada columna. Con las cinco sumas y el número de datos \(n\) puedes calcularlo todo.
- Calcula las medias, las varianzas (media de los cuadrados menos el cuadrado de la media) y la covarianza (media de los productos menos el producto de las medias).
- Obtén \(r\) y decide si tiene sentido usar la recta: solo si \(|r|\) es próximo a 1.
- Escribe la recta de regresión y úsala para predecir solo dentro del rango de los datos.
Ejemplo 4
Con los datos \((1,3),\ (2,5),\ (3,7)\), calcula la covarianza.
Las medias son \(\bar{x}=\dfrac{6}{3}=2\) e \(\bar{y}=\dfrac{15}{3}=5\). Los productos \(x_iy_i\) son 3, 10 y 21, que suman 34. La covarianza es \(\sigma_{xy}=\dfrac{34}{3}-2\cdot5\approx11{,}33-10=1{,}33\). Es positiva, lo que confirma lo que se ve en los datos: cuando \(x\) aumenta, \(y\) también aumenta. De hecho, los tres puntos están sobre la recta \(y=2x+1\), así que la correlación es perfecta.
El consejo de Otto
Antes de calcular nada, dibuja la nube. Si los puntos forman una curva o hay un dato que se escapa, la recta de regresión no es la mejor herramienta.
Cómo usar los apuntes de estadística bidimensional y regresión lineal de 4º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de estadística bidimensional y regresión lineal y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de estadística bidimensional y regresión lineal y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de estadística bidimensional y regresión lineal de 4º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
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