Estos apuntes de estadística bidimensional de 1º Bachillerato CCSS están pensados para alumnos de 16-17 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Correlación y regresión. Antes de empezar, conviene repasar derivadas y estadística unidimensional, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de estadística bidimensional 1º Bachillerato CCSS: lo que vas a aprender
Con frecuencia interesa saber si dos variables están relacionadas: la publicidad y las ventas, las horas de estudio y la nota, el precio y la demanda. La estadística bidimensional estudia pares de datos \((x_i,y_i)\) y permite medir esa relación y hacer predicciones.
Actividad de introducción: ¿más horas, mejor nota?
Pregunta a diez compañeros cuántas horas estudian a la semana y qué nota sacaron en el último examen, y escribe cada pareja como un punto en un papel cuadriculado. Es probable que los puntos formen una nube que sube de izquierda a derecha, aunque no todos estén sobre una recta: algún alumno estudia poco y saca buena nota, y otro estudia mucho y aprueba justo. La estadística bidimensional estudia precisamente este tipo de datos: dos variables observadas a la vez en los mismos individuos. Nos permite medir el grado de relación con un número, el coeficiente de correlación, dibujar la recta que mejor resume la nube y utilizarla para hacer predicciones razonables. También nos enseña a desconfiar de conclusiones precipitadas: que dos variables estén relacionadas no significa que una sea la causa de la otra.
Distribuciones bidimensionales y nube de puntos
Definición: nube de puntos
Una variable estadística bidimensional \((X,Y)\) recoge dos datos por individuo. Se organiza en una tabla de pares o en una tabla de doble entrada (frecuencias de cada par, con distribuciones marginales en los márgenes). Su representación gráfica es la nube de puntos o diagrama de dispersión.
Propiedad: tipos de correlación
Si los puntos suben de izquierda a derecha, la correlación es positiva (directa); si bajan, negativa (inversa); si no siguen ninguna pauta, la correlación es nula. Cuanto más alineados estén los puntos, más fuerte es la correlación.
Covarianza y coeficiente de correlación
Definición: covarianza
La covarianza es \[ \sigma_{xy}=\dfrac{\sum x_iy_i}{n}-\bar x\,\bar y. \] Su signo indica el tipo de relación: positivo, correlación directa; negativo, inversa. Depende de las unidades.
Definición: coeficiente de correlación lineal
\[ r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y},\qquad -1\le r\le1. \] No depende de las unidades. \(|r|\) cerca de 1: relación lineal fuerte; cerca de 0: no hay relación lineal. \(r=\pm1\): todos los puntos en una recta.
Método: calcular \(r\) con una tabla
- Calcula \(\bar x\), \(\bar y\), \(\sum x_iy_i\), \(\sum x_i^2\) y \(\sum y_i^2\).
- Halla \(\sigma_x^2=\frac{\sum x_i^2}{n}-\bar x^2\), \(\sigma_y^2\) y \(\sigma_{xy}\).
- Calcula \(r=\sigma_{xy}/(\sigma_x\sigma_y)\).
- Interpreta: signo y fuerza.
Ejemplo 1
Gasto en publicidad \(x\) (miles de €) y ventas \(y\) (decenas de miles de €): \((1,2),(2,4),(3,5),(4,4),(5,6)\). Calcula \(r\).
\(\bar x=3\), \(\bar y=4{,}2\). \(\sum xy=71\), \(\sum x^2=55\), \(\sum y^2=97\). \(\sigma_x^2=2{,}00\), \(\sigma_y^2=1{,}76\), \(\sigma_{xy}=1{,}60\). \(r=\dfrac{1{,}60}{\sqrt{2{,}00\cdot1{,}76}}=0{,}853\): correlación positiva fuerte.
Recta de regresión
Regla: recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\)
\[ y-\bar y=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\,(x-\bar x). \] Pasa por el punto medio \((\bar x,\bar y)\), y su pendiente \(\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\) es el coeficiente de regresión. Sirve para predecir \(y\) a partir de \(x\). La de \(X\) sobre \(Y\) es \(x-\bar x=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}(y-\bar y)\).
Ejemplo 2
Recta de regresión para los datos del ejemplo 1 y predicción para \(x=6\).
Pendiente \(\dfrac{1{,}60}{2{,}00}=0{,}80\). \(y-4{,}2=0{,}80(x-3)\Rightarrow y=0{,}80x+1{,}80\). Para \(x=6\): \(y=6{,}6\) decenas de miles de euros.
Propiedad: fiabilidad de la predicción
Una predicción es tanto más fiable cuanto mayor es \(|r|\) (el coeficiente de determinación \(r^2\) indica la proporción de variación de \(Y\) explicada por \(X\)) y cuanto mayor es el número de datos. Predecir dentro del rango de datos (interpolación) es más fiable que hacerlo fuera (extrapolación).
¡Atención!
- Correlación no significa causalidad: dos variables pueden crecer a la vez por una causa común (por ejemplo, las ventas de helados y de gafas de sol).
- Si \(r\) es próximo a 0, la recta no sirve para predecir.
- No se extrapola lejos del rango de los datos.
- Las dos rectas de regresión solo coinciden si \(r=\pm1\).
Ejemplo 3: horas de estudio y nota
Horas de estudio \(x\): \(1,2,3,4,5,6\); notas \(y\): \(3,4,5,5,7,8\). Calcula \(r\) y la recta.
\(\bar x=3{,}5\), \(\bar y=5{,}333\), \(\sigma_{xy}=2{,}833\), \(\sigma_x^2=2{,}917\), \(\sigma_y^2=2{,}889\). \(r=0{,}976\) (muy fuerte). Recta: \(y=0{,}971x+1{,}933\). Con 3,5 horas se predice nota \(5{,}33\).
Observación
La covarianza cambia si cambiamos las unidades (de euros a miles de euros, por ejemplo), pero el coeficiente \(r\) no. Si \(r\) es positivo, ambas rectas de regresión tienen pendiente positiva; si es negativo, ambas negativa. Los datos económicos reales casi nunca tienen \(r=\pm1\): se buscan relaciones aproximadas y se calcula su fiabilidad antes de usar la recta para decidir.
Ampliación: tablas de doble entrada
Cuando las dos variables son cualitativas o están agrupadas en pocos valores, los datos se presentan en una tabla de doble entrada, que muestra la frecuencia de cada pareja de valores. Sumando por filas y por columnas se obtienen las distribuciones marginales, que describen cada variable por separado. Fijando un valor de una variable y calculando las proporciones de la otra se obtienen las distribuciones condicionadas. Si las proporciones condicionadas son iguales a las marginales, las variables son independientes; si cambian, hay relación entre ellas.
Ejemplo 4
En una encuesta a 200 clientes de un centro comercial, 120 son mujeres. 54 mujeres y 30 hombres compran ropa deportiva. ¿Hay relación entre el sexo y la compra de ropa deportiva?
Entre las mujeres compran ropa deportiva \(\dfrac{54}{120}=45\,\%\); entre los hombres, \(\dfrac{30}{80}=37{,}5\,\%\). En el conjunto, \(\dfrac{84}{200}=42\,\%\). Las proporciones condicionadas (45 % y 37,5 %) son distintas, pero próximas: hay una ligera relación, que con una muestra de 200 personas podría ser casual.
Ampliación: el procedimiento paso a paso con una tabla de cálculo
Método: calcular \(r\) y la recta de regresión
- Construye una tabla con las columnas \(x\), \(y\), \(x^2\), \(y^2\) y \(xy\) y suma cada una.
- Calcula las medias \(\bar x=\sum x/n\) e \(\bar y=\sum y/n\).
- Calcula las varianzas \(\sigma_x^2=\sum x^2/n-\bar x^2\) y \(\sigma_y^2=\sum y^2/n-\bar y^2\), y la covarianza \(\sigma_{xy}=\sum xy/n-\bar x\bar y\).
- Calcula \(r=\sigma_{xy}/(\sigma_x\sigma_y)\) y decide el tipo y la fuerza de la correlación.
- Escribe la recta \(y-\bar y=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x-\bar x)\) y úsala para estimar.
Ejemplo 5
Con los datos \((1,2)\), \((2,3)\), \((3,5)\), \((4,6)\) calcula \(r\) y la recta de \(y\) sobre \(x\).
\(n=4\): \(\sum x=10\), \(\sum y=16\), \(\sum x^2=30\), \(\sum y^2=74\), \(\sum xy=47\). Medias: \(\bar x=2{,}5\), \(\bar y=4\). Varianzas: \(\sigma_x^2=7{,}5-6{,}25=1{,}25\) y \(\sigma_y^2=18{,}5-16=2{,}5\). Covarianza: \(\sigma_{xy}=11{,}75-10=1{,}75\). Entonces \(r=\dfrac{1{,}75}{\sqrt{1{,}25\cdot2{,}5}}=0{,}990\) y la pendiente es \(\dfrac{1{,}75}{1{,}25}=1{,}4\). La recta es \(y-4=1{,}4(x-2{,}5)\), es decir, \(y=1{,}4x+0{,}5\).
Propiedad: cómo valorar el coeficiente de correlación
- \(-1\le r\le1\), y \(r\) no tiene unidades.
- Si \(|r|\) está cerca de 1, la relación lineal es fuerte; si está cerca de 0, es débil o inexistente.
- \(r\gt 0\) indica relación directa y \(r\lt 0\) relación inversa.
- El coeficiente de determinación \(r^2\) indica la proporción de variación de \(y\) explicada por la recta.
- Las dos rectas de regresión se cortan en \((\bar x,\bar y)\); cuanto mayor es \(|r|\), más próximas están.
Ampliación: predecir con prudencia
Una recta de regresión es una herramienta de predicción, pero tiene límites. Dentro del intervalo de valores observados se habla de interpolación, y la estimación es tanto más fiable cuanto más cerca de 1 esté \(|r|\). Fuera de ese intervalo se habla de extrapolación, que puede ser absurda: un modelo lineal del precio de un coche usado puede dar un precio negativo para un coche muy antiguo. Además, hay que conservar el sentido de las unidades: la pendiente se mide en unidades de \(y\) por unidad de \(x\) (por ejemplo, euros por metro cuadrado o clientes por anuncio) y siempre debe interpretarse en el contexto del problema. Por último, la estimación de \(x\) a partir de \(y\) debe hacerse con la recta de regresión de \(x\) sobre \(y\), no despejando de la de \(y\) sobre \(x\).
Ejemplo 6
Una cafetería de Salamanca ajusta la recta \(y=2{,}5x+40\), donde \(x\) son los grados de temperatura exterior e \(y\) los cafés fríos vendidos al día, con datos entre 15 y 35 grados. Interpreta la pendiente y estima las ventas con 30 grados.
La pendiente 2,5 significa que, por cada grado más, se venden unos 2,5 cafés fríos más. Con 30 grados: \(y=2{,}5\cdot30+40=115\) cafés. Al estar 30 dentro del intervalo 15-35, es una interpolación y la estimación es razonable. En cambio, con 2 grados el modelo daría 45 cafés fríos, una extrapolación dudosa. Además, el valor 40 de la ordenada no tiene por qué tener sentido real: representa lo que predice la recta para 0 grados, fuera del rango estudiado.
Errores muy comunes en estadística bidimensional
- Pensar que una correlación alta demuestra una relación de causa y efecto: puede haber una variable oculta que explique ambas.
- Olvidar que \(r\) solo mide relaciones lineales: unos datos en forma de U pueden tener \(r\approx0\) y estar muy relacionados.
- Extrapolar muy lejos de los datos observados.
- Confundir las dos rectas de regresión o despejar \(x\) de la recta de \(y\) sobre \(x\).
- No interpretar la pendiente con sus unidades.
- Dejar que un dato atípico distorsione el análisis sin revisarlo.
¿Sabías que?
La palabra «regresión» procede del científico británico Francis Galton, que a finales del siglo XIX observó que los hijos de padres muy altos solían ser algo más bajos que sus padres, y los de padres muy bajos algo más altos: sus alturas «regresaban» hacia la media. Su discípulo Karl Pearson definió el coeficiente de correlación que usamos hoy. Los datos que manejó Galton, alturas de padres e hijos, son todavía un ejemplo clásico en los libros de estadística.
El consejo de Otto
Dibuja siempre la nube de puntos antes de calcular nada: si no se ve una pauta lineal, la recta de regresión no tiene sentido aunque la calculadora te dé un número.
Cómo usar los apuntes de estadística bidimensional de 1º Bachillerato CCSS
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de estadística bidimensional y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de estadística bidimensional y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de estadística bidimensional de 1º Bachillerato CCSS reúnen todo lo necesario para el tema.
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