Estos apuntes de límites y continuidad de 1º Bachillerato Ciencias están pensados para alumnos de 16-17 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Límites de funciones y continuidad. Antes de empezar, conviene repasar geometría analítica en el plano y funciones elementales, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de límites y continuidad 1º Bachillerato Ciencias: lo que vas a aprender
En este tema aprenderás: idea de límite y límites laterales, cálculo de límites, asíntotas y continuidad. Cada idea va en un cuadro de color, con ejemplos resueltos paso a paso.
Actividad de introducción: la descarga que nunca llega al 100 %
Estás descargando una película y la barra de progreso avanza así: 50 % tras el primer segundo, 75 % tras el segundo, 87,5 % tras el tercero, 93,75 % tras el cuarto… Cada segundo se descarga la mitad de lo que queda. ¿Llegará alguna vez al 100 %? Matemáticamente no, pero se acerca tanto como quieras: a los 10 segundos ya está al 99,9 %. Decimos que el progreso tiende a 100 % cuando el tiempo tiende a infinito, y lo escribimos como un límite. El límite no es el valor que la función toma, sino el valor al que se aproxima. En este tema aprenderás a calcular límites cuando \(x\) se acerca a un número o a infinito, a detectar y resolver las indeterminaciones, a dibujar asíntotas y a decidir cuándo una función es continua, es decir, cuando su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz.
Idea de límite y límites laterales
Propiedad
\(\lim_{x\to a}f(x)=L\) significa que \(f(x)\) se acerca a \(L\) cuando \(x\) se acerca a \(a\), sin importar lo que valga \(f(a)\). Los límites laterales \(\lim_{x\to a^-}f(x)\) y \(\lim_{x\to a^+}f(x)\) estudian cada lado; el límite existe si y solo si ambos existen y coinciden. Por ejemplo, \(\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}\) no existe, porque por la derecha vale 1 y por la izquierda \(-1\).
Propiedad
También hay límites infinitos y límites en el infinito. \(\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty\) y \(\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty\), así que \(x=2\) es una asíntota vertical.
Cálculo de límites
Propiedad: cálculo de límites
Con funciones continuas basta sustituir: \(\lim_{x\to2}(x^2+3x-1)=9\). Si sale una indeterminación (\(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(1^\infty\), \(0\cdot\infty\)) hay que transformar la expresión:
- \(\frac00\) en cocientes de polinomios: se factoriza y se simplifica. \(\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim(x+3)=6\).
- \(\frac00\) con raíces: se multiplica por el conjugado. \(\lim_{x\to4}\frac{\sqrt x-2}{x-4}=\lim\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt x+2)}=\frac14\).
- \(\frac\infty\infty\) en el infinito: se comparan los grados. Si el grado del numerador es menor, el límite es 0; si son iguales, es el cociente de los coeficientes directores; si es mayor, es \(\pm\infty\). \(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-x}{2x^2+5}=\frac32\).
- \(\infty-\infty\) con raíces: se multiplica y divide por el conjugado. \(\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\lim\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac12\).
- \(1^\infty\): se usa \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac kx\right)^x=e^k\). Así, \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac3x\right)^{2x}=e^6\).
Un límite notable es \(\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1\) (con \(x\) en radianes).
Cómo se hace: resolver un límite con indeterminación
- Sustituye el valor al que tiende \(x\) para ver si hay indeterminación.
- En \(\frac{0}{0}\) con polinomios, factoriza y simplifica; con raíces, multiplica por el conjugado.
- En \(\frac{\infty}{\infty}\) con polinomios, divide entre la potencia mayor de \(x\) o compara grados.
- Si sale \(\frac{k}{0}\), estudia los límites laterales para ver si es \(+\infty\) o \(-\infty\).
Ejemplo 1: indeterminación 0/0
Calcula \(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\).
Al sustituir sale \(\frac{0}{0}\). Factorizamos: \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\), y el límite vale 4.
Ejemplo 2: límite en el infinito
Calcula \(\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}\).
Numerador y denominador tienen el mismo grado: el límite es el cociente de los coeficientes principales, 3.
Asíntotas
Definición: asíntota vertical
La recta \(x=a\) es asíntota vertical si algún límite lateral en \(a\) es infinito. La recta \(y=L\) es horizontal si \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L\). La recta \(y=mx+n\) es oblicua si \(m=\lim\frac{f(x)}{x}\ne0\) y \(n=\lim(f(x)-mx)\) son finitos. Para \(f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\): vertical \(x=1\); \(m=1\), \(n=\lim\frac{x^2+1-x^2+x}{x-1}=1\), oblicua \(y=x+1\).
Continuidad
Propiedad: continuidad
\(f\) es continua en \(a\) si existe \(f(a)\), existe \(\lim_{x\to a}f(x)\) y \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en sus dominios. Los tipos de discontinuidad son:
- Evitable: el límite existe y es finito pero no coincide con \(f(a)\) (o \(f(a)\) no existe). \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) tiene un hueco en \((1,2)\).
- De salto: los límites laterales son finitos y distintos.
- Esencial (asintótica): algún límite lateral es infinito.
Ejemplo 3
Para que \(f(x)=\begin{cases}2x+a&x\le1\\x^2+3&x>1\end{cases}\) sea continua en \(x=1\) se exige \(2+a=4\), es decir, \(a=2\).
Teorema de Bolzano
Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signos opuestos, existe \(c\in(a,b)\) con \(f(c)=0\). Para \(f(x)=x^3+x-1\): \(f(0)=-1<0\) y \(f(1)=1>0\), luego hay una raíz en \((0,1)\).
¡Atención! Errores frecuentes
- Escribir \(\frac00=0\) o \(\frac\infty\infty=1\): son indeterminaciones y hay que resolverlas.
- Simplificar \(\infty-\infty=0\).
- Olvidar comprobar los límites laterales en las funciones a trozos.
- Aplicar Bolzano sin comprobar que la función es continua en todo el intervalo cerrado.
Idea intuitiva y límites laterales
Definición: límite y límites laterales
Decimos que \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) cuando los valores \(f(x)\) se acercan tanto como queramos a \(L\) al acercarse \(x\) a \(a\) (sin tomar el valor \(x=a\)). El límite lateral por la izquierda \(\lim_{x\to a^-}f(x)\) considera valores \(x<a\) y el límite lateral por la derecha \(\lim_{x\to a^+}f(x)\) considera valores \(x>a\). El límite existe si y solo si los dos límites laterales existen y son iguales.
Ejemplo 4
Calcula \(\lim_{x\to0}\dfrac{|x|}{x}\).
Para \(x>0\), \(|x|=x\) y el cociente vale \(1\): el límite por la derecha es 1. Para \(x<0\), \(|x|=-x\) y el cociente vale \(-1\): el límite por la izquierda es \(-1\). Como los límites laterales son distintos, el límite no existe.
Resolver indeterminaciones
Regla: estrategia según el tipo de indeterminación
Tipo \(\frac00\) (en un número): factoriza numerador y denominador y simplifica, o multiplica por el conjugado si hay raíces. Tipo \(\frac\infty\infty\) (en el infinito): divide numerador y denominador entre la mayor potencia de \(x\), o compara grados. Tipo \(\infty-\infty\): si hay raíces, multiplica y divide por el conjugado; si hay fracciones, réstalas con denominador común. Tipo \(1^\infty\): usa \(\lim f^g=e^{\lim g\cdot(f-1)}\). Tipo \(\frac k0\) con \(k\ne0\): no es indeterminación, es una asíntota vertical y se estudian los signos de los límites laterales.
Ejemplo 5
Calcula \(\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}\right)^{x}\).
La base tiende a 1 y el exponente a \(\infty\), así que es del tipo \(1^\infty\). Usamos \(e^{\lim x\left(\frac{2x+1}{2x-1}-1\right)}\). Calculamos \(\frac{2x+1}{2x-1}-1=\frac{2}{2x-1}\), de modo que \(x\cdot\frac{2}{2x-1}\to1\). El límite es \(e^1=e\).
Ejemplo 6
Calcula \(\lim_{x\to1}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x^2-1}\right)\).
Al sustituir aparece \(\infty-\infty\). Con denominador común \(x^2-1=(x-1)(x+1)\): \(\frac{(x+1)-2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}\). Su límite en \(x=1\) es \(\frac12\).
Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
Propiedad: tipos de asíntotas
Una asíntota vertical \(x=a\) aparece cuando algún límite lateral en \(a\) es \(\pm\infty\). Una asíntota horizontal \(y=L\) aparece cuando \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L\). Una asíntota oblicua \(y=mx+n\) aparece cuando \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=m\ne0\) finito y \(n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-mx\right)\) es finito. En una función racional, hay oblicua cuando el grado del numerador supera en una unidad al del denominador, y se obtiene dividiendo. Por cada lado, una función no puede tener a la vez horizontal y oblicua.
Continuidad y tipos de discontinuidad
Definición: discontinuidad evitable, de salto y asintótica
Una función \(f\) es continua en \(a\) si \(f(a)\) existe, existe \(\lim_{x\to a}f(x)\) y son iguales. Cuando falla, la discontinuidad es: evitable si el límite existe y es finito pero no coincide con \(f(a)\) (o \(f(a)\) no existe); de salto finito si los límites laterales son finitos y distintos; de salto infinito o asintótica si algún límite lateral es infinito. Las funciones elementales (polinomios, exponenciales, senos, cosenos…) son continuas en todo su dominio, y las racionales lo son salvo donde se anula el denominador.
Cómo se hace: estudiar la continuidad de una función a trozos
- Comprueba que cada trozo es continuo en su intervalo (casi siempre lo es).
- En cada punto de unión \(a\), calcula los límites laterales y \(f(a)\).
- Si son iguales, es continua en \(a\); si no, clasifica la discontinuidad.
- Si hay parámetros, iguala los límites laterales para obtener ecuaciones y resuélvelas.
El teorema de Bolzano
Teorema de Bolzano
Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signos distintos, existe al menos un \(c\in(a,b)\) con \(f(c)=0\). Sirve para demostrar que una ecuación tiene solución sin resolverla, y con bisección se localiza la raíz con la precisión que se quiera: se evalúa en el punto medio y se conserva la mitad donde el signo cambia.
Ejemplo 7
Demuestra que \(x^3+x-1=0\) tiene una raíz en \((0,1)\) y localiza una cifra decimal.
Sea \(f(x)=x^3+x-1\), continua. \(f(0)=-1<0\) y \(f(1)=1>0\): por Bolzano hay una raíz en \((0,1)\). Probamos \(f(0{,}5)=-0{,}375<0\), luego está en \((0{,}5,1)\). Con \(f(0{,}7)=0{,}043>0\) y \(f(0{,}6)=-0{,}184<0\) la raíz está en \((0{,}6;0{,}7)\). Es aproximadamente \(0{,}68\).
Cómo se hace: localizar una raíz por bisección
- Comprueba que \(f\) es continua en \([a,b]\) y que \(f(a)\cdot f(b)<0\).
- Calcula el punto medio \(m=\frac{a+b}{2}\) y el signo de \(f(m)\).
- Si \(f(a)\) y \(f(m)\) tienen signos distintos, la raíz está en \([a,m]\); en caso contrario, está en \([m,b]\).
- Repite el proceso. Después de cada paso la longitud del intervalo se reduce a la mitad, de modo que tras diez pasos la raíz queda acotada en un intervalo mil veces más pequeño que el inicial.
¡Atención! errores frecuentes con los límites
Sustituir sin cuidado y escribir que \(\frac00=0\) o que \(\frac00=1\): es una indeterminación, no un número. Escribir que \(\lim\frac{k}{0}=\infty\) sin comprobar los signos de los límites laterales. Dar por buena una raíz de Bolzano en el borde del intervalo sin comprobar la continuidad. Y suponer que si \(f(a)\) existe entonces el límite coincide con él: eso solo ocurre si la función es continua.
¿Sabías que? El rigor de Cauchy y Weierstrass
Newton y Leibniz usaban «infinitésimos» sin una definición clara, y el cálculo funcionaba, pero muchos matemáticos desconfiaban de él. En el siglo XIX, Cauchy y Weierstrass formalizaron la idea de límite con la definición «épsilon-delta», y Bolzano demostró su famoso teorema en 1817. Gracias a ese rigor el análisis matemático dejó de ser una colección de trucos y se convirtió en la base de la ingeniería y de la física modernas.
El consejo de Otto
Sustituye primero: solo si sale una indeterminación necesitas factorizar, usar el conjugado o comparar grados.
Cómo usar los apuntes de límites y continuidad de 1º Bachillerato Ciencias
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de límites y continuidad y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de límites y continuidad y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de límites y continuidad de 1º Bachillerato Ciencias reúnen todo lo necesario para el tema.
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