Probabilidad – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Propiedad

La frecuencia relativa de un suceso, \(f=\frac{\text{veces que ocurre}}{\text{repeticiones}}\), se estabiliza al repetir muchas veces el experimento (ley de los grandes números); esa estabilización justifica asignar probabilidades. Si una chincheta cae con la punta arriba 124 veces de 200, \(f=0{,}62\).

Propiedad

Si todos los resultados son equiprobables: \(P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\). Con un dado, \(P(\text{par})=\frac36=\frac12\). Con dos dados hay 36 resultados: la suma 7 sale de 6 formas, así que \(P=\frac{6}{36}=\frac16\).

Propiedad: técnicas de recuento

• Regla del producto: si una elección se hace en \(m\) formas y otra en \(n\), el total es \(m\cdot n\).
• Variaciones (importa el orden, sin repetir): \(V_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}\). Números de 3 cifras distintas con los dígitos 1 a 9: \(9\cdot8\cdot7=504\).
• Variaciones con repetición: \(VR_{n,k}=n^k\). Contraseñas de 4 dígitos: \(10^4\).
• Permutaciones de \(n\) elementos: \(P_n=n!\). Anagramas de MATES: \(5!=120\). Con repetidos: \(\frac{n!}{a!\,b!\dots}\); CASA: \(\frac{4!}{2!}=12\).
• Combinaciones (no importa el orden): \(C_{n,k}=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\), con \(\binom nk=\binom n{n-k}\). Comisiones de 3 personas entre 10: \(\binom{10}{3}=120\).

Propiedad

La probabilidad de \(A\) sabiendo que ha ocurrido \(B\) es \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\). De ahí, \(P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)\). Los sucesos son independientes si \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\), o sea \(P(A\mid B)=P(A)\). Al extraer sin reposición los sucesos son dependientes: de una urna con 5 bolas rojas y 3 azules, \(P(\text{2 rojas})=\frac58\cdot\frac47=\frac{5}{14}\).

Propiedad

Si \(A_1,A_2,\dots\) forman una partición del espacio muestral, \(P(B)=\sum P(A_i)P(B\mid A_i)\) (probabilidad total) y \(P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{P(B)}\) (teorema de Bayes). Un diagrama de árbol lo organiza: las probabilidades de cada rama se multiplican y las de ramas finales distintas se suman.

Propiedad: frecuencia relativa y probabilidad

Si se repite un experimento muchas veces en las mismas condiciones, la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse alrededor de un valor, que es su probabilidad. Esta ley de los grandes números permite estimar probabilidades cuando no se puede aplicar la regla de Laplace, por ejemplo cuando los resultados no son equiprobables (una chincheta que cae de punta o de lado) o cuando solo hay datos estadísticos (la probabilidad de lluvia o de que un componente falle).