Binomialverteilung und Erwartungswert – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten

Die Formel von Bernoulli

Die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer ist \(P(X=k)=\binom nk\,p^k\,(1-p)^{n-k}\). Dabei ist \(\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\) die Anzahl der Pfade mit \(k\) Treffern im Baumdiagramm, \(p^k(1-p)^{n-k}\) ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfads. Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 6 Würfen genau zweimal eine Sechs zu werfen? \(P(X=2)=\binom62\big(\frac16\big)^2\big(\frac56\big)^4=15\cdot\frac{625}{46656}\approx0{,}2009\).

Kumulative Wahrscheinlichkeiten

Für „höchstens \(k\)“ addiert man: \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i)\). Die Gegenereignisse liefern „mindestens \(k\)“: \(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\). Für „genau“, „höchstens“, „mindestens“, „weniger als“, „mehr als“ müssen Sie die Ungleichung korrekt übersetzen: „mehr als 3“ bedeutet \(X\ge4\), „weniger als 3“ bedeutet \(X\le2\). Im Abitur verwenden Sie Tabellen der kumulierten Binomialverteilung oder den Taschenrechner (binomcdf).

Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert gibt an, wie viele Treffer man auf lange Sicht im Mittel erwartet: \(\mu=E(X)=n\,p\). Die Streuung misst \(\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}\). Beispiel \(n=100\), \(p=0{,}3\): \(\mu=30\), \(\sigma=\sqrt{21}\approx4{,}58\). Je näher \(p\) an \(0{,}5\) liegt, desto größer ist die Streuung. Das Histogramm der Binomialverteilung hat sein Maximum bei \(k\approx np\); für \(p=0{,}5\) ist es symmetrisch, für \(p<0{,}5\) rechtsschief (längerer Schwanz nach rechts).

Mindestens ein Treffer und nötige Versuchszahl

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist \(P(X\ge1)=1-(1-p)^n\). Soll sie mindestens \(0{,}95\) betragen, so gilt \(1-(1-p)^n\ge0{,}95\Leftrightarrow(1-p)^n\le0{,}05\Leftrightarrow n\ge\frac{\ln0{,}05}{\ln(1-p)}\). Beachten Sie: Beim Dividieren durch \(\ln(1-p)<0\) dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Beispiel \(p=0{,}1\): \(n\ge\frac{\ln0{,}05}{\ln0{,}9}\approx28{,}4\), also mindestens 29 Versuche.

Arbeit mit Taschenrechner und Tabelle

Die meisten Taschenrechner bieten die Funktionen binompdf (für \(P(X=k)\)) und binomcdf (für \(P(X\le k)\)). Notieren Sie im Abitur trotzdem den Ansatz mit den Parametern \(n\) und \(p\), zum Beispiel „\(P(X\le4)=0{,}3770\) (binomcdf, \(n=10\), \(p=0{,}5\))“ – Punkte gibt es für Ansatz und Ergebnis. Bei Tabellen der kumulierten Binomialverteilung liest man \(P(X\le k)\) direkt ab; für \(P(a\le X\le b)\) rechnet man \(P(X\le b)-P(X\le a-1)\). Achten Sie auf die Verschiebung um 1 bei der unteren Grenze, denn hier passieren die meisten Fehler.

Ablauf einer Abituraufgabe

Weitere Beispiele

Histogramme lesen und vergleichen

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße stellt man als Histogramm dar: Über jedem \(k\) steht ein Balken der Höhe \(P(X=k)\). Das Histogramm zeigt auf einen Blick, wo die Wahrscheinlichkeit „sitzt“. Der höchste Balken liegt in der Nähe des Erwartungswerts \(\mu=np\); je größer \(\sigma\), desto breiter und flacher ist das Histogramm. Für \(p<0{,}5\) läuft es nach rechts flach aus, für \(p>0{,}5\) nach links. Kumulierte Wahrscheinlichkeiten wie \(P(X\le3)\) entsprechen der Summe der Balken von \(0\) bis \(3\).

Erwartungswert beliebiger Zufallsgrößen und faire Spiele

Der Erwartungswert ist nicht auf die Binomialverteilung beschränkt. Nimmt eine Zufallsgröße \(X\) die Werte \(x_1,\dots,x_m\) mit den Wahrscheinlichkeiten \(P(X=x_i)\) an, so ist \(E(X)=x_1P(X=x_1)+\dots+x_mP(X=x_m)\). Bei Glücksspielen ist \(X\) meist der Gewinn des Spielers, also Auszahlung minus Einsatz. Ist \(E(X)=0\), heißt das Spiel fair; bei \(E(X)<0\) verdient auf lange Sicht der Veranstalter.

Unbekannte Parameter bestimmen

Im Abitur wird häufig umgekehrt gefragt: Wie groß muss \(n\) mindestens sein, oder welches \(p\) passt zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit? Für „mindestens ein Treffer“ löst man \(1-(1-p)^n\ge c\) mit dem Logarithmus. Ist \(P(X=0)\) gegeben, folgt \(p\) aus \((1-p)^n=P(X=0)\) durch Wurzelziehen. Bei komplizierteren Bedingungen wie \(P(X\ge3)\ge0{,}9\) probiert man systematisch mit einer Wertetabelle des Taschenrechners. Notieren Sie dabei immer die beiden entscheidenden Werte, also den letzten, der die Bedingung noch nicht erfüllt, und den ersten, der sie erfüllt. So bleibt der Lösungsweg nachvollziehbar, und im Abitur gibt es die volle Punktzahl auch für den Ansatz.

Typische Formulierungen richtig übersetzen

Viele Fehler in Abituraufgaben entstehen nicht beim Rechnen, sondern beim Übersetzen des Textes. „Höchstens fünf“ bedeutet \(X\le5\), „weniger als fünf“ dagegen \(X\le4\). „Mindestens fünf“ ist \(X\ge5\) und wird über das Gegenereignis \(1-P(X\le4)\) berechnet, „mehr als fünf“ ist \(X\ge6\). Bei „zwischen drei und sieben“ muss geklärt werden, ob die Grenzen dazugehören; ohne weiteren Hinweis zählt man sie im Abitur mit. Schreiben Sie deshalb immer zuerst die Ungleichung für \(X\) auf und erst danach den Ansatz mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten. So bleibt der Lösungsweg nachvollziehbar, und auch bei einem Tippfehler im Taschenrechner gibt es Punkte für den richtigen Ansatz.