Lagebeziehungen und Schnittprobleme – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Überblick

Gerade und Ebene

Gegeben sind \(g:\ \vec x=\vec a+r\vec u\) und \(E:\ \vec n\circ\vec x=d\). Setzt man \(\vec x=\vec a+r\vec u\) in die Ebenengleichung ein, erhält man \(\vec n\circ\vec a+r\,(\vec n\circ\vec u)=d\), also \((\vec n\circ\vec u)\,r=d-\vec n\circ\vec a\). Drei Fälle:

• \(\vec n\circ\vec u\neq0\): genau ein \(r\), also ein Schnittpunkt. Man setzt \(r\) in \(g\) ein.
• \(\vec n\circ\vec u=0\) und \(d-\vec n\circ\vec a\neq0\): Widerspruch, die Gerade ist echt parallel zur Ebene (kein gemeinsamer Punkt).
• \(\vec n\circ\vec u=0\) und \(d-\vec n\circ\vec a=0\): wahre Aussage für alle \(r\), die Gerade liegt in der Ebene.

Zwei Ebenen

Schnittwinkel

Der Winkel zwischen zwei Geraden \(g\) und \(h\) mit Richtungsvektoren \(\vec u\), \(\vec v\) ist \(\varphi=\cos^{-1}\frac{|\vec u\circ\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}\). Zwischen zwei Ebenen: \(\varphi=\cos^{-1}\frac{|\vec n_1\circ\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}\). Zwischen Gerade und Ebene: \(\varphi=\sin^{-1}\frac{|\vec n\circ\vec u|}{|\vec n|\,|\vec u|}\), denn der Winkel zur Ebene ist das Komplement zum Winkel zwischen \(\vec u\) und \(\vec n\). Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass ein Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) herauskommt. Beispiel: Die Ebenen \(x_1+x_3=4\) und \(-x_1+x_3=4\) haben \(\vec n_1\circ\vec n_2=-1+1=0\), also stehen sie senkrecht aufeinander (\(90^\circ\)).

Systematische Übersicht der Lagen

Gerade–Gerade: identisch, parallel, schneidend, windschief. Gerade–Ebene: Schnittpunkt, parallel, enthalten. Ebene–Ebene: Schnittgerade, parallel, identisch. Dazu gehört jeweils ein fester Test: Richtungsvektoren vergleichen, Skalarprodukt \(\vec n\circ\vec u\) prüfen oder Normalenvektoren vergleichen. Wer diese drei Tests beherrscht, löst fast jede Lageaufgabe im Abitur.

Anwendungen

Weitere Beispiele

Schatten auf ebenen Flächen

Die Sonne ist so weit entfernt, dass alle Sonnenstrahlen parallel sind. Der Schatten eines Punktes \(P\) auf einer Fläche ist deshalb der Schnittpunkt der Geraden \(\vec x=\vec p+r\vec s\) mit der Ebene der Fläche, wobei \(\vec s\) die Richtung der Strahlen ist. Den Schatten einer Strecke erhält man, indem man die Schatten ihrer Endpunkte verbindet. Fällt der Schatten auf einen Hang statt auf ebenen Boden, wird er je nach Neigung länger oder kürzer.

Die Schnittgerade zweier Ebenen – zwei Wege

Sind beide Ebenen in Koordinatenform gegeben, setzt man eine Variable gleich \(t\) und löst das Gleichungssystem aus zwei Gleichungen nach den beiden anderen Variablen auf. Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, setzt man die Zeilen in die Koordinatenform der anderen ein; man erhält eine Beziehung zwischen den Parametern \(r\) und \(s\), die man in die Parameterform zurückeinsetzt. Kontrolle: Der Richtungsvektor der Schnittgeraden steht auf beiden Normalenvektoren senkrecht.

Welche Fläche trifft der Strahl zuerst?

In einem Raum gibt es mehrere Begrenzungsflächen. Ein Lichtstrahl, der vom Punkt \(P\) in Richtung \(\vec u\) ausgeht, trifft diejenige Ebene zuerst, für die sich der kleinste positive Parameter \(r\) ergibt. Negative Parameter gehören zu Punkten „hinter“ der Lichtquelle und spielen keine Rolle. Außerdem muss geprüft werden, ob der Schnittpunkt tatsächlich auf der begrenzten Fläche liegt, etwa innerhalb der Wandbreite.

Ein Prüfschema für Schnittaufgaben

Bei allen Schnittaufgaben hilft ein festes Schema. Erstens: Bringen Sie jede Ebene in Koordinatenform, denn dann genügt Einsetzen. Zweitens: Prüfen Sie vorab mit dem Skalarprodukt oder dem Vergleich der Normalenvektoren, ob überhaupt ein Schnitt zu erwarten ist. Drittens: Rechnen Sie den Schnitt aus und machen Sie die Probe, indem Sie das Ergebnis in beide Gleichungen einsetzen. Viertens: Deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. Ein Schnittpunkt mit negativem Parameter kann zum Beispiel bedeuten, dass ein Lichtstrahl die Fläche gar nicht erreicht, weil sie hinter der Lichtquelle liegt. Ebenso muss bei begrenzten Flächen wie Dachflächen, Wänden oder Segeln geprüft werden, ob der berechnete Punkt innerhalb der Begrenzung liegt. Wer dieses Schema einhält, vermeidet die meisten Fehler und erhält auch bei einem Rechenfehler noch Punkte für den richtigen Ansatz. Notieren Sie außerdem bei jedem Ergebnis eine kurze Deutung in Worten, denn genau diese Interpretation wird in Prüfungen oft gesondert bewertet.