Extremwertprobleme und Optimierung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Zaun an einer Mauer

Ein rechteckiges Beet grenzt an eine Mauer und soll an den drei übrigen Seiten mit 60 m Zaun eingezäunt werden. Bezeichne \(x\) die Länge der beiden Seiten senkrecht zur Mauer. Die Seite parallel zur Mauer ist \(60-2x\). Zielfunktion: \(A(x)=x(60-2x)=60x-2x^2\) mit \(0\lt x<30\). Ableitung \(A'(x)=60-4x=0\Rightarrow x=15\), \(A''(x)=-4<0\): Maximum. Maße: \(15\,\mathrm{m}\times30\,\mathrm{m}\), \(A=450\,\mathrm{m}^2\). Randwerte (nicht im offenen Intervall) liefern \(A\to0\), das Maximum ist also global.

Beispiel 2: Dose mit minimaler Oberfläche

Eine zylindrische Dose soll \(1\) Liter, also \(V=1000\,\mathrm{cm}^3\), fassen. Hauptbedingung: Oberfläche \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). Nebenbedingung: \(\pi r^2h=1000\Rightarrow h=\frac{1000}{\pi r^2}\). Zielfunktion: \(O(r)=2\pi r^2+\frac{2000}{r}\) mit \(r>0\). Ableitung: \(O'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac{500}{\pi}\Rightarrow r\approx5{,}42\) cm. Mit \(O''(r)=4\pi+\frac{4000}{r^3}>0\) liegt ein Minimum vor. Dann ist \(h=\frac{1000}{\pi r^2}\approx10{,}84\) cm \(=2r\). Die optimale Dose ist so hoch wie ihr Durchmesser.

Beispiel 3: Offener Kasten aus Pappe

Aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Seitenlänge 24 cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge \(x\) ausgeschnitten, die Seiten werden hochgebogen. Das Volumen ist \(V(x)=x(24-2x)^2\) mit \(0\lt x<12\). Ausmultiplizieren: \(V(x)=4x^3-96x^2+576x\), \(V'(x)=12x^2-192x+576=12(x^2-16x+48)=12(x-4)(x-12)\). Im Definitionsbereich bleibt \(x=4\). Vorzeichenwechsel von \(V'\) von \(+\) nach \(-\): Maximum mit \(V(4)=4\cdot16^2=1024\,\mathrm{cm}^3\).

Beispiel 4: Kürzester Abstand

Gesucht ist der Punkt der Parabel \(y=x^2\), der dem Punkt \(P(0|2)\) am nächsten liegt. Der Abstand eines Punktes \((x|x^2)\) von \(P\) ist \(d=\sqrt{x^2+(x^2-2)^2}\). Weil die Wurzelfunktion streng monoton ist, genügt es, das Abstandsquadrat \(D(x)=x^2+(x^2-2)^2=x^4-3x^2+4\) zu minimieren. Das vermeidet die Kettenregel. Ableitung: \(D'(x)=4x^3-6x=2x(2x^2-3)\). Kandidaten sind \(x=0\) mit \(D=4\) und \(x=\pm\sqrt{1{,}5}\) mit \(D=1{,}75\). Der kleinere Wert gewinnt: Der Abstand beträgt \(\sqrt{1{,}75}\approx1{,}32\). Wichtig ist, am Ende nicht \(D\), sondern \(d=\sqrt D\) anzugeben.

Beispiel 5

Ein Fenster besteht aus einem Rechteck der Breite \(2r\) und der Höhe \(h\) mit aufgesetztem Halbkreis (Radius \(r\)). Der Umfang des Rahmens beträgt \(6\) m. Wie groß ist die Fensterfläche höchstens?

Nebenbedingung: Umfang \(U=2h+2r+\pi r=6\), also \(h=3-r-\frac\pi2r\). Hauptbedingung: \(A=2rh+\frac\pi2r^2\). Einsetzen ergibt die Zielfunktion \(A(r)=6r-2r^2-\pi r^2+\frac\pi2r^2=6r-\left(2+\frac\pi2\right)r^2\). Ableiten: \(A'(r)=6-(4+\pi)r=0\Rightarrow r=\frac6{4+\pi}\approx0{,}840\) m. Wegen \(A''(r)=-(4+\pi)<0\) liegt ein Maximum vor. Dann ist \(h=3-\frac{(2+\pi)\cdot3}{4+\pi}=\frac6{4+\pi}=r\), und die Fläche beträgt \(A=3r\approx2{,}52\,\mathrm{m}^2\). Die Höhe des Rechtecks ist also genau gleich dem Radius.

Beispiel 6

Die Gesamtkosten eines Betriebs sind \(K(x)=x^3-6x^2+15x+32\) (in Tausend Euro, \(x\) in Tausend Stück). Bestimmen Sie das Betriebsoptimum.

Stückkosten: \(k(x)=x^2-6x+15+\frac{32}x\). Ableitung: \(k'(x)=2x-6-\frac{32}{x^2}=0\Rightarrow2x^3-6x^2-32=0\Rightarrow x^3-3x^2-16=0\). Die Lösung \(x=4\) erkennt man durch Probieren: \(64-48-16=0\). Dort gilt \(k(4)=16-24+15+8=15\) und \(K'(4)=3\cdot16-48+15=15\); Grenzkosten und Stückkosten stimmen überein. Das Betriebsoptimum liegt also bei \(4\,000\) Stück mit Stückkosten von \(15\,€\).

Beispiel 7

Welcher Punkt der Geraden \(y=-2x+6\) liegt dem Ursprung am nächsten?

Abstandsquadrat: \(D(x)=x^2+(6-2x)^2=5x^2-24x+36\). Aus \(D'(x)=10x-24=0\) folgt \(x=2{,}4\), also \(y=1{,}2\). Der Abstand beträgt \(\sqrt{5{,}76+1{,}44}=\sqrt{7{,}2}\approx2{,}68\). Kontrolle: Das Lot vom Ursprung auf die Gerade hat die Steigung \(\frac12\); der Punkt \((2{,}4|1{,}2)\) liegt tatsächlich auf der Ursprungsgeraden \(y=\frac12x\).