Dieser Lernzettel zum Thema Normalverteilung ist für Abitur (Alter 17-19) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Dichtefunktion, Gaußsche Glockenkurve, Näherungen und Intervalle. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Skalarprodukt, Abstände und Winkel und Binomialverteilung und Erwartungswert, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Normalverteilung Abitur Lernzettel: das lernst du
Einstieg: Brezeln aus der Backstube
In einer Bäckerei in München werden jeden Morgen \(2\,000\) Laugenbrezeln gebacken. Die Brezeln sollen \(80\) g wiegen, doch keine wiegt genau gleich viel: Mal ist der Teigstrang etwas dicker, mal etwas dünner. Wiegt man viele Brezeln und zeichnet ein Histogramm mit immer feineren Klassen, entsteht eine glockenförmige Kurve. Die meisten Brezeln liegen nahe bei \(80\) g, sehr leichte und sehr schwere sind selten.
Diese Glockenkurve beschreibt erstaunlich viele Messgrößen: Körpergrößen, Füllmengen, Fahrzeiten, Messfehler. Weil eine Masse jeden Wert eines Intervalls annehmen kann, braucht man eine stetige Zufallsgröße. Wahrscheinlichkeiten sind dann keine Balkenhöhen mehr, sondern Flächen unter einer Kurve – hier verbinden sich Stochastik und Integralrechnung.
Stetige Zufallsgrößen und Dichtefunktion
Definition: Dichtefunktion
Größen wie Körpergröße, Füllmenge einer Flasche oder Messfehler können beliebige Werte in einem Intervall annehmen. Man beschreibt sie durch eine Dichtefunktion \(f\), die nirgends negativ ist und insgesamt den Flächeninhalt 1 mit der \(x\)-Achse einschließt. Die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls ist ein Flächeninhalt: \(P(a\le X\le b)=\int_a^bf(x)\,dx\). Für einzelne Werte gilt \(P(X=a)=0\); deshalb ist es unerheblich, ob die Intervallgrenzen mitgezählt werden (\(\le\) oder \(\lt \)). Das ist ein wichtiger Unterschied zur diskreten Binomialverteilung.
Die Normalverteilung
Definition: normalverteilt
Viele Zufallsgrößen sind normalverteilt, \(X\sim N(\mu;\sigma)\). Ihre Dichte ist die Gaußsche Glockenkurve \(\varphi_{\mu;\sigma}(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). Eigenschaften: Der Graph ist symmetrisch zur Geraden \(x=\mu\), der Hochpunkt liegt bei \(x=\mu\) mit dem Wert \(\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\), die Wendepunkte liegen bei \(x=\mu\pm\sigma\). Ein kleineres \(\sigma\) macht die Kurve höher und schmaler, ein größeres flacher und breiter. Der Parameter \(\mu\) verschiebt die Kurve nach links oder rechts. Für die Standardnormalverteilung \(N(0;1)\) gilt \(\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-x^2/2}\); ihre Verteilungsfunktion heißt \(\Phi(z)=P(Z\le z)\).
Standardisieren und Wahrscheinlichkeiten berechnen
Definition: standardisieren
Jede normalverteilte Größe lässt sich standardisieren: \(Z=\frac{X-\mu}\sigma\) ist \(N(0;1)\)-verteilt. Damit gilt \(P(X\le x)=\Phi\big(\frac{x-\mu}\sigma\big)\) und \(P(a\le X\le b)=\Phi\big(\frac{b-\mu}\sigma\big)-\Phi\big(\frac{a-\mu}\sigma\big)\). Die Werte von \(\Phi\) liest man in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner (normalcdf) ab. Wegen der Symmetrie gilt \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) und \(P(X\ge x)=1-P(X\le x)\). Beispiel: \(X\sim N(100;15)\). Dann ist \(P(X\le115)=\Phi(1)\approx0{,}8413\) und \(P(X>130)=1-\Phi(2)\approx0{,}0228\).
Satz: Standardisierung
Ist \(X\sim N(\mu;\sigma^2)\), so ist \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) standardnormalverteilt, und es gilt \(P(X\le x)=\Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)\).
Die \(\sigma\)-Regeln
Für jede Normalverteilung gilt: \(P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx68{,}3\,\%\), \(P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx95{,}4\,\%\), \(P(\mu-3\sigma\le X\le\mu+3\sigma)\approx99{,}7\,\%\). Außerdem ist \(P(\mu-1{,}96\sigma\le X\le\mu+1{,}96\sigma)\approx95\,\%\) (Faktor 1,96 für das zentrale 95-%-Intervall), und \(1{,}645\) beziehungsweise \(2{,}576\) gehören zu \(90\,\%\) und \(99\,\%\). Mit diesen Werten bestimmt man Intervalle ohne Taschenrechner.
Quantile: Umkehraufgaben
Soll zu einer Wahrscheinlichkeit \(p\) die Grenze \(x\) bestimmt werden (\(P(X\le x)=p\)), liest man \(z\) mit \(\Phi(z)=p\) ab (inverse Normalverteilung, invNorm) und berechnet \(x=\mu+z\sigma\). Beispiel: Welche Körpergröße unterschreiten 90 % einer \(N(175;7)\)-verteilten Gruppe? \(z=1{,}2816\), \(x=175+1{,}2816\cdot7\approx184{,}0\) cm. Fehlt der Parameter \(\mu\) oder \(\sigma\), setzt man die standardisierte Gleichung an: Aus \(P(X\le60)=0{,}9\) bei \(\mu=50\) folgt \(\frac{10}{\sigma}=1{,}2816\), also \(\sigma\approx7{,}80\).
Näherung der Binomialverteilung
Definition: Laplace-Bedingung
Ist \(X\sim B(n;p)\) und gilt die Laplace-Bedingung \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}>3\), kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit \(\mu=np\) und \(\sigma\) annähern. Wegen der Diskretisierung verwendet man die Stetigkeitskorrektur: \(P(a\le X\le b)\approx\Phi\big(\frac{b+0{,}5-\mu}\sigma\big)-\Phi\big(\frac{a-0{,}5-\mu}\sigma\big)\). Beispiel: \(X\sim B(100;0{,}5)\), \(\mu=50\), \(\sigma=5\). Dann ist \(P(45\le X\le55)\approx\Phi(1{,}1)-\Phi(-1{,}1)=2\Phi(1{,}1)-1\approx0{,}7287\).
Beispiel 1: Abfüllanlage
Eine Anlage füllt Flaschen, deren Inhalt \(N(500;2)\)-verteilt ist (in ml). Gesucht ist der Anteil der Flaschen, die weniger als 495 ml enthalten. Zuerst standardisieren wir: \(z=\frac{495-500}{2}=-2{,}5\). Dann gilt \(P(X<495)=\Phi(-2{,}5)=1-\Phi(2{,}5)\approx1-0{,}9938=0{,}0062\). Etwa \(0{,}6\,\%\) der Flaschen sind also zu leer. Soll der Anteil unter \(0{,}1\,\%\) sinken, muss man den Mittelwert erhöhen oder die Streuung verkleinern: Aus \(\Phi(z)=0{,}001\) folgt \(z\approx-3{,}09\), und mit \(\sigma=2\) braucht man \(\mu\ge495+3{,}09\cdot2=501{,}18\) ml. Solche Aufgaben mit „Einstellung der Maschine“ sind im Abitur häufig und führen immer auf die Standardisierung und das Quantil \(z\).
Vorgehen bei Aufgaben zur Normalverteilung
So gehst du vor
- Zufallsgröße beschreiben und Parameter angeben: \(X\sim N(\mu;\sigma)\).
- Skizze der Glockenkurve mit schraffierter Fläche anfertigen.
- Grenzen standardisieren oder direkt mit normalcdf rechnen; bei Intervallen \(\Phi(z_2)-\Phi(z_1)\).
- Bei Umkehraufgaben zuerst \(z\) aus der Tabelle bestimmen, dann \(x=\mu+z\sigma\) berechnen.
- Antwortsatz in der Sprache der Aufgabe (zum Beispiel „Etwa 0,6 % der Flaschen enthalten weniger als 495 ml“).
Zusammenhang mit der Integralrechnung
Die Verteilungsfunktion \(\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\varphi(t)\,dt\) ist eine Integralfunktion der Dichte. Weil für \(\mathrm{e}^{-x^2/2}\) keine Stammfunktion aus elementaren Funktionen existiert, werden die Werte von \(\Phi\) tabelliert oder vom Taschenrechner numerisch bestimmt. Die Ableitung von \(\Phi\) ist \(\varphi\); damit ist \(\Phi\) streng monoton wachsend mit \(\Phi(-\infty)=0\) und \(\Phi(\infty)=1\).
Merke
n Sie sich außerdem die Faustwerte \(\Phi(1)\approx0{,}8413\), \(\Phi(2)\approx0{,}9772\), \(\Phi(3)\approx0{,}9987\) und \(\Phi(1{,}645)\approx0{,}95\), \(\Phi(1{,}96)\approx0{,}975\). Mit ihnen lassen sich viele Aufgaben auch ohne Taschenrechner abschätzen.
Weitere Beispiele
Beispiel 2: Wahrscheinlichkeit
\(X\sim N(100;15^2)\). Bestimmen Sie \(P(X\le115)\).
\(P(X\le115)=\Phi\!\left(\tfrac{115-100}{15}\right)=\Phi(1)\approx0{,}8413\).
Beispiel 3: Intervall
\(X\sim N(50;4)\) (also \(\sigma=2\)). Bestimmen Sie \(P(48\le X\le54)\).
\(P=\Phi(2)-\Phi(-1)\approx0{,}9772-0{,}1587=0{,}8185\).
Die Bedeutung der Parameter \(\mu\) und \(\sigma\)
Der Erwartungswert \(\mu\) legt fest, wo die Glockenkurve ihren Gipfel hat; ändert man \(\mu\), wird die Kurve nur nach links oder rechts verschoben. Die Standardabweichung \(\sigma\) bestimmt die Breite: Bei großem \(\sigma\) ist die Kurve flach und breit, bei kleinem \(\sigma\) schmal und hoch. Da die Gesamtfläche immer \(1\) beträgt, ist der Hochpunkt \(\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\) umso niedriger, je größer \(\sigma\) ist. In der Abbildung ist die Fläche zwischen \(9\) und \(11\) unter der schmalen Kurve markiert; sie beträgt etwa \(0{,}683\).
Beispiel 4: Quantil bestimmen
Die Masse der Brezeln ist \(N(80;3)\)-verteilt (in g). Unterhalb welcher Masse liegen die leichtesten \(5\,\%\)?
Gesucht ist \(c\) mit \(P(X\le c)=0{,}05\). Aus \(\Phi(z)=0{,}05\) folgt \(z\approx-1{,}645\) (wegen \(\Phi(1{,}645)\approx0{,}95\) und der Symmetrie). Also \(c=\mu+z\sigma=80-1{,}645\cdot3\approx75{,}06\) g. Die leichtesten \(5\,\%\) der Brezeln wiegen weniger als etwa \(75{,}1\) g.
Den Erwartungswert passend einstellen
In der Industrie ist die Streuung \(\sigma\) einer Maschine meist fest vorgegeben, den Sollwert \(\mu\) kann man dagegen einstellen. Nach der deutschen Fertigpackungsverordnung dürfen Packungen die angegebene Nennfüllmenge im Mittel nicht unterschreiten, und nur wenige dürfen deutlich darunter liegen. Ein Hersteller stellt die Maschine deshalb etwas höher ein, als auf der Packung steht – aber nicht zu hoch, denn jedes Gramm zu viel kostet Geld.
Beispiel 5: Abfüllmenge einstellen
Eine Anlage füllt Mehlpackungen mit \(\sigma=6\) g ab. Auf welchen Wert \(\mu\) muss sie eingestellt werden, damit höchstens \(2\,\%\) der Packungen weniger als \(1\,000\) g enthalten?
Bedingung: \(P(X<1000)=\Phi\left(\frac{1000-\mu}6\right)\le0{,}02\). Aus \(\Phi(z)=0{,}02\) folgt \(z\approx-2{,}054\). Also \(\frac{1000-\mu}6\le-2{,}054\), d. h. \(\mu\ge1000+2{,}054\cdot6\approx1012{,}3\) g. Die Anlage wird auf etwa \(1\,012{,}4\) g eingestellt.
Stetige Zufallsgrößen mit anderen Dichten
Nicht jede stetige Zufallsgröße ist normalverteilt. Jede Funktion \(f\) mit \(f(x)\ge0\) und \(\int f(x)\,\mathrm dx=1\) über dem Definitionsbereich kann als Dichtefunktion dienen. Wahrscheinlichkeiten berechnet man dann mit Stammfunktionen, den Erwartungswert mit \(E(X)=\int x\,f(x)\,\mathrm dx\). Bei der Normalverteilung gibt es keine elementare Stammfunktion; deshalb benutzt man Tabellen von \(\Phi\) oder den Taschenrechner (normalcdf).
Beispiel 6: Eine Dreiecksdichte
Die Wartezeit \(X\) (in Minuten) an einer Supermarktkasse habe die Dichte \(f(x)=\frac{2}{25}(5-x)\) für \(0\le x\le5\). Prüfen Sie, dass \(f\) eine Dichte ist, und berechnen Sie \(P(X\le1)\).
\(f(x)\ge0\) auf \([0;5]\) und \(\int_0^5\frac2{25}(5-x)\,\mathrm dx=\frac2{25}\left[5x-\frac{x^2}2\right]_0^5=\frac2{25}\cdot12{,}5=1\). Damit ist \(P(X\le1)=\frac2{25}\left(5-\frac12\right)=0{,}36\). Mit \(36\,\%\) Wahrscheinlichkeit wartet man höchstens eine Minute.
Wann ist die Normalverteilung ein gutes Modell?
Die Normalverteilung passt besonders gut, wenn eine Größe durch viele kleine, voneinander unabhängige Einflüsse entsteht, die sich addieren: Bei der Brezel sind das Teigmenge, Feuchtigkeit, Backzeit und Handgriff des Bäckers. Dieser Zusammenhang heißt zentraler Grenzwertsatz und erklärt, warum die Glockenkurve so häufig vorkommt. Vorsicht ist geboten bei Größen, die nicht negativ werden können und stark streuen, etwa Wartezeiten oder Einkommen. Diese Verteilungen sind meist schief. Prüfen Sie deshalb im Sachzusammenhang, ob das Modell plausibel ist: Liegt der Bereich \([\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]\) vollständig im sinnvollen Wertebereich, und ist das Histogramm der Daten ungefähr symmetrisch?
Beispiel 7: Schnelle Abschätzung mit den Sigma-Regeln
Die Fahrzeit eines Regionalzugs von Kassel nach Göttingen ist \(N(38;2)\)-verteilt (in Minuten). Schätzen Sie ohne Taschenrechner, wie oft der Zug länger als \(42\) Minuten braucht.
\(42=\mu+2\sigma\). Im \(2\sigma\)-Intervall liegen etwa \(95{,}4\,\%\) der Fahrzeiten, außerhalb also \(4{,}6\,\%\). Wegen der Symmetrie liegt die Hälfte davon oberhalb: etwa \(2{,}3\,\%\). Bei \(30\) Fahrten im Monat ist das etwa einmal pro Monat.
Wusstest du? Gauß auf dem Zehnmarkschein
Carl Friedrich Gauß nutzte die Glockenkurve um 1809, um aus fehlerbehafteten Messungen die Bahn des Zwergplaneten Ceres zu berechnen. Von 1991 bis zur Einführung des Euro zeigte der deutsche Zehnmarkschein sein Porträt zusammen mit der Formel und dem Graphen der Normalverteilung. Deshalb heißt die Glockenkurve bis heute auch Gaußsche Glockenkurve.
Normalverteilung und Binomialverteilung im Vergleich
Die Binomialverteilung zählt Treffer und nimmt nur ganze Zahlen an; die Normalverteilung beschreibt Messgrößen, die jeden Wert eines Intervalls annehmen können. Bei großen Stichproben sieht das Histogramm einer Binomialverteilung trotzdem fast wie eine Glockenkurve aus. Deshalb darf man es durch eine Normalverteilung mit gleichem Erwartungswert und gleicher Standardabweichung ersetzen, sobald \(\sigma>3\) gilt. Weil ein Balken bei \(k\) von \(k-0{,}5\) bis \(k+0{,}5\) reicht, verschiebt man die Grenzen jeweils um eine halbe Einheit nach außen. Diese Stetigkeitskorrektur verbessert die Näherung deutlich, besonders bei kleineren Stichproben.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Stetige Zufallsgröße: Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Dichtefunktion \(f\) mit \(f(x)\ge0\) und Gesamtfläche \(1\); deshalb gilt \(P(X=a)=0\) und \(P(X\lt a)=P(X\le a)\).
- Normalverteilung \(N(\mu;\sigma)\): Glockenkurve \(\varphi_{\mu;\sigma}(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2}\), symmetrisch zu \(x=\mu\), Hochpunkt bei \(\mu\), Wendestellen bei \(\mu\pm\sigma\).
- Standardisieren: \(Z=\frac{X-\mu}\sigma\sim N(0;1)\), \(P(X\le x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}\sigma\right)\), \(P(a\le X\le b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}\sigma\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}\sigma\right)\).
- Symmetrie: \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\); \(P(|X-\mu|\le c)=2\Phi\left(\frac c\sigma\right)-1\).
- \(\sigma\)-Regeln: \(P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx0{,}683\), \(2\sigma\): \(0{,}954\), \(3\sigma\): \(0{,}997\); \(1{,}96\sigma\): \(0{,}95\); \(2{,}58\sigma\): \(0{,}99\).
- Umkehraufgaben (Quantile): Aus \(\Phi(z)=q\) folgt \(z\), dann \(x=\mu+z\sigma\); ist \(\mu\) oder \(\sigma\) gesucht, löst man \(\frac{x-\mu}\sigma=z\) nach der Unbekannten auf.
- Näherung der Binomialverteilung (Laplace-Bedingung \(\sigma>3\)): \(P(a\le X\le b)\approx\Phi\left(\frac{b+0{,}5-\mu}\sigma\right)-\Phi\left(\frac{a-0{,}5-\mu}\sigma\right)\) mit \(\mu=np\), \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
- Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße: \(E(X)=\int x\,f(x)\,\mathrm dx\); bei der Normalverteilung ist \(E(X)=\mu\).
Achtung: Typische Fehler
- Die Standardisierung falsch durchführen (Division durch \(\sigma^2\) statt \(\sigma\), oder \(\mu\) vergessen).
- Bei \(P(X\ge x)\) das Gegenereignis \(1-\Phi\) nicht bilden.
- Die Stetigkeitskorrektur bei der Näherung vergessen oder mit falschem Vorzeichen anwenden.
- Die Laplace-Bedingung nicht prüfen.
- Bei negativen \(z\)-Werten Tabelle falsch benutzen; die Symmetrie \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) kennen.
Ottos Tipp: Skizziere immer eine Glockenkurve und schraffiere die gesuchte Fläche. Dann siehst du sofort, ob du \(\Phi\) oder \(1-\Phi\) brauchst!
Ottos Tipp
Eine kleine Skizze der Glockenkurve mit schraffierter Fläche verhindert die meisten Fehler bei „größer als“, „kleiner als“ und „zwischen“. Nutzen Sie die Symmetrie: \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).
So nutzt du den Lernzettel Normalverteilung (Abitur)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Normalverteilung und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Normalverteilung und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Normalverteilung (Abitur) alles, was du für das Thema brauchst.
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