Funktionenscharen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Was ist eine Funktionenschar?

Untersuchung in Abhängigkeit vom Parameter

Ortskurven

Gemeinsame Punkte der Schar

Ein Punkt \((x_0|y_0)\) liegt auf allen Graphen, wenn \(f_a(x_0)=y_0\) für jedes \(a\) gilt. Beispiel: \(f_a(x)=a(x^2-2x)+3\). Der Term \(a(x^2-2x)\) verschwindet für alle \(a\), wenn \(x^2-2x=0\), also bei \(x=0\) und \(x=2\). Alle Graphen gehen durch \(P_1(0|3)\) und \(P_2(2|3)\).

Bestimmung eines Parameters aus einer Bedingung

Oft ist ein Parameter gesucht, für den eine Eigenschaft gilt. Beispiel: Für welches \(a\) hat \(f_a(x)=x^2+ax\) bei \(x=1\) die Steigung 5? Es gilt \(f_a'(x)=2x+a\), also \(f_a'(1)=2+a=5\Rightarrow a=3\). Weiteres Beispiel: Wann berührt \(f_a(x)=x^2-ax+2\) die \(x\)-Achse? Die Diskriminante muss null sein: \(a^2-8=0\Rightarrow a=\pm2\sqrt2\).

Mit e-Funktion und Logarithmus

Beispiel: \(f_a(x)=x\,\mathrm{e}^{-ax}\) mit \(a>0\). Produkt- und Kettenregel: \(f_a'(x)=(1-ax)\mathrm{e}^{-ax}\), also \(f_a'(x)=0\Rightarrow x=\frac1a\). Der Funktionswert ist \(f_a(\frac1a)=\frac{1}{a\mathrm{e}}\). Wegen des Vorzeichenwechsels von \(f_a'\) von \(+\) nach \(-\) liegt ein Hochpunkt \(H\big(\frac1a\big|\frac1{a\mathrm{e}}\big)\) vor. Ortskurve: \(a=\frac1x\Rightarrow y=\frac{x}{\mathrm{e}}\).

Schar im Sachzusammenhang

In Anwendungsaufgaben beschreibt der Parameter eine Größe, die sich von Fall zu Fall ändert: die Spannweite einer Brücke, die Wachstumskonstante einer Population oder den Preis eines Produkts. Beispiel: Die Konzentration eines Medikaments wird durch \(c_k(t)=k\,t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) beschrieben, wobei \(k>0\) von der Dosis abhängt. Die Ableitung \(c_k'(t)=k(1-0{,}5t)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) hat die Nullstelle \(t=2\), unabhängig von \(k\). Der Zeitpunkt der höchsten Konzentration ist also bei jeder Dosis gleich; nur der Höchstwert \(c_k(2)=\frac{2k}{\mathrm{e}}\) wächst mit \(k\). Solche Aussagen „unabhängig vom Parameter“ sind typische Prüfungsfragen und lassen sich nur mit einer Rechnung in Abhängigkeit von \(k\) begründen.

Flächen und Integrale bei Scharen

Auch Integrale lassen sich in Abhängigkeit vom Parameter berechnen: \(\int_0^2(ax+1)\,dx=2a+2\). Man erhält eine Funktion von \(a\), die man gleichsetzen oder untersuchen kann, zum Beispiel \(2a+2=5\Rightarrow a=\frac32\). Beim Flächeninhalt unter \(f_a(x)=ax-x^2\) ergibt sich \(A(a)=\frac{a^3}6\); dieser wächst mit \(a\) sehr schnell.

Vorgehen im Abitur

Weitere Beispiele

Scharen grafisch untersuchen und Ortskurven deuten

Ein Graph mit mehreren Scharkurven zeigt, wie sich die Kurven mit dem Parameter verändern. Bei \(f_a(x)=x^2-2ax\) wandert der Tiefpunkt \(T(a|-a^2)\) mit wachsendem \(a\) nach rechts unten. Alle Tiefpunkte liegen auf der Parabel \(y=-x^2\), der Ortskurve. Außerdem gehen alle Graphen durch den Ursprung, denn \(f_a(0)=0\) gilt für jedes \(a\).

Den Parameter im Sachzusammenhang deuten

In Anwendungen steht der Parameter für eine Größe, die man einstellen kann: die Dosis eines Medikaments, den Abwurfwinkel, einen Preis oder eine Wachstumsrate. Typische Fragen lauten dann: Welcher Wert des Parameters ist optimal? Welcher erfüllt eine Vorgabe? Welche Eigenschaften hängen gar nicht vom Parameter ab? Eine solche Unabhängigkeit ist oft die interessanteste Erkenntnis einer Scharuntersuchung.

Optimale Parameter: der weiteste Wasserstrahl

Hält man den Schlauch mit der Anfangssteigung \(a\), so beschreibt \(f_a(x)=ax-0{,}05(1+a^2)x^2\) den Strahl (Austrittsgeschwindigkeit \(10\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\), \(x\) und \(f_a(x)\) in m). Die Abbildung zeigt drei Strahlen.

Typische Fehler bei Scharen

Bei Funktionenscharen passieren immer wieder dieselben Fehler. Häufig wird der Parameter beim Ableiten wie eine Variable behandelt; dabei ist \(a\) eine feste Zahl, abgeleitet wird nur nach \(x\). Ein zweiter Fehler ist das Teilen durch einen Ausdruck mit \(a\), der null werden kann: Dabei geht der Fall \(a=0\) verloren. Drittens wird vergessen, dass Wurzeln und Logarithmen nur für bestimmte Werte definiert sind. Notieren Sie deshalb zu Beginn den zulässigen Bereich des Parameters und prüfen Sie am Ende, ob Ihre Ergebnisse darin liegen. Eine Probe mit einem konkreten Wert, etwa \(a=1\), deckt viele Fehler auf. Gerade im Abitur lohnt sich diese kleine Kontrolle fast immer.