Produktregel, Kettenregel und weitere Ableitungsregeln – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Warum weitere Ableitungsregeln?

Die Produktregel

Ist \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\), dann gilt \(f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\). Merkregel: „Ableitung des ersten mal das zweite plus das erste mal Ableitung des zweiten.“ Typischer Fehler: einfach \(u'\cdot v'\) rechnen.

Die Kettenregel

Die Quotientenregel

Für \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) mit \(v(x)\neq0\) gilt \(f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}\). Alternativ kann man den Quotienten als Produkt \(u\cdot v^{-1}\) auffassen und Produkt- und Kettenregel verwenden. Beispiel: \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\) liefert \(f'(x)=\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).

Wichtige Ableitungen im Überblick

Anwendung: Tangente und Extremstellen

Probe bei Stammfunktionen

Im Abitur wird oft verlangt: „Zeigen Sie, dass \(F(x)=(x-1)\mathrm{e}^x\) eine Stammfunktion von \(f(x)=x\,\mathrm{e}^x\) ist.“ Man leitet \(F\) mit der Produktregel ab: \(F'(x)=1\cdot\mathrm{e}^x+(x-1)\mathrm{e}^x=x\,\mathrm{e}^x=f(x)\). Die Produktregel ist also die Grundlage, Stammfunktionen von Produkten zu finden.

Ausführlich gerechnet: Produkt und Verkettung gemeinsam

Als zweites Beispiel betrachten wir \(f(x)=\ln(x^2+1)\). Die äußere Funktion \(\ln z\) hat die Ableitung \(\frac1z\), die innere \(x^2+1\) hat die Ableitung \(2x\). Daher \(f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2+1}\). Die Ableitung ist null nur bei \(x=0\), und dort wechselt sie von negativ nach positiv: Der Graph hat bei \(x=0\) einen Tiefpunkt \(T(0|0)\).

Zweite Ableitung

Für die Art eines Extrempunkts, für Wendepunkte und Krümmung braucht man die zweite Ableitung. Man leitet das Ergebnis der ersten Ableitung noch einmal ab, meist wieder mit Produkt- und Kettenregel. Beispiel: Aus \(f'(x)=(1-2x^2)\mathrm{e}^{-x^2}\) folgt \(f''(x)=-4x\,\mathrm{e}^{-x^2}+(1-2x^2)(-2x)\mathrm{e}^{-x^2}=(4x^3-6x)\mathrm{e}^{-x^2}\). Klammern Sie bei jedem Schritt den Faktor \(\mathrm{e}^{-x^2}\) aus, damit die Terme übersichtlich bleiben und Sie mit \(\mathrm{e}^{-x^2}>0\) argumentieren können.

Kontrolle der Ableitung

Mehrfache Verkettung und drei Faktoren

Treten mehrere Verkettungen ineinander auf, arbeiten Sie von außen nach innen und multiplizieren alle Teilableitungen: \(\big(h(g(k(x)))\big)'=h'(g(k(x)))\cdot g'(k(x))\cdot k'(x)\). In der Leibniz-Schreibweise sieht man das besonders gut: \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}\), die Differenziale „kürzen“ sich. Bei einem Produkt aus drei Faktoren leitet man jeden Faktor einmal ab: \((uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\).

Brüche geschickt ableiten

Die Quotientenregel ist rechenintensiv. Bevor Sie sie anwenden, prüfen Sie, ob sich der Bruch vereinfachen lässt. Ist der Nenner nur ein Monom, trennen Sie den Bruch in eine Summe: \(\frac{x^2+1}{x}=x+x^{-1}\) mit der Ableitung \(1-\frac1{x^2}\). Steht im Nenner eine Verkettung, ist die Schreibweise als Produkt mit negativer Potenz oft einfacher: \(\frac{x}{\mathrm{e}^x}=x\,\mathrm{e}^{-x}\) mit \(f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}\). Die Quotientenregel brauchen Sie wirklich nur, wenn Zähler und Nenner beide von \(x\) abhängen und sich nichts kürzen lässt, etwa bei \(\frac{x}{x^2+1}\).

Ableitungen mit Parameter

In Funktionenscharen steht neben \(x\) ein Parameter \(a\) oder \(k\). Beim Ableiten nach \(x\) wird der Parameter wie eine Zahl behandelt. Besonders wichtig ist das bei Exponentialfunktionen: Aus \(f_a(x)=x\,\mathrm{e}^{-ax}\) folgt \(f_a'(x)=(1-ax)\mathrm{e}^{-ax}\), und die Nullstelle der Ableitung ist \(x=\frac1a\). Die Lage des Hochpunkts hängt also vom Parameter ab; die Menge aller Hochpunkte nennt man Ortskurve.

So zeigen Sie Ihren Rechenweg im Abitur

Bei Ableitungen werden im Abitur nicht nur Ergebnisse, sondern auch nachvollziehbare Rechenwege bewertet. Bewährt hat sich eine feste Schrittfolge: Zuerst benennen Sie die Struktur des Terms in einem Halbsatz („Produkt aus \(x\) und einer Verkettung“), dann notieren Sie die Teilfunktionen und ihre Ableitungen übersichtlich nebeneinander, setzen in die Regel ein und klammern am Ende gemeinsame Faktoren aus. Das spart Zeit beim Weiterrechnen, weil Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung dann sofort ablesbar sind.

Welche Regel wann?

Vor dem Ableiten lohnt ein kurzer Blick auf den Aufbau des Terms. Werden zwei Funktionen multipliziert, braucht man die Produktregel; steht eine Funktion in einer anderen, die Kettenregel; ist der Term ein Bruch mit \(x\) im Nenner, die Quotientenregel oder eine Umformung in eine Potenz. Komplizierte Terme zerlegt man von außen nach innen. Wer diese Reihenfolge einhält, vergisst keine innere Ableitung.