Anwendungen der Integralrechnung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Änderungsraten und Bestände

Wichtig ist die Deutung im Sachzusammenhang: Ist \(r(t)>0\), nimmt der Bestand zu; ist \(r(t)<0\), nimmt er ab. Der Bestand ist maximal oder minimal, wenn \(r\) das Vorzeichen wechselt, das heißt an einer Nullstelle von \(r\) mit Vorzeichenwechsel. Der Bestand kann auch dann noch zunehmen, wenn die Rate kleiner wird – solange sie positiv bleibt.

Weg und Geschwindigkeit

Der Mittelwert einer Funktion

Der Mittelwert einer stetigen Funktion \(f\) auf \([a;b]\) ist \(\bar f=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\). Er gibt an, welche konstante Funktion über \([a;b]\) denselben Integralwert hätte. In Sachaufgaben ist das etwa die durchschnittliche Zuflussrate oder die mittlere Temperatur. Beispiel: \(f(x)=x^2+1\) auf \([0;3]\): \(\int_0^3(x^2+1)dx=12\), also \(\bar f=4\).

Rotationskörper

Rotiert der Graph von \(f\) über \([a;b]\) um die \(x\)-Achse, entsteht ein Körper mit dem Volumen \(V=\pi\int_a^b\big(f(x)\big)^2dx\). Dahinter steckt die Idee: Jede dünne Scheibe an der Stelle \(x\) ist ein Zylinder mit Radius \(f(x)\) und Höhe \(dx\).

Weitere Beispiele

Kurzer Rückblick auf Modellierung

Vorgehen bei Sachaufgaben

Kosten und Gewinn aus Grenzfunktionen

In der Wirtschaft beschreibt die Grenzkostenfunktion \(k(x)\), wie stark die Gesamtkosten steigen, wenn man eine weitere Mengeneinheit produziert. Sie ist die Ableitung der Kostenfunktion \(K\), und deshalb gilt \(K(x)=K(0)+\int_0^xk(s)\,ds\); der Anfangsbestand \(K(0)\) sind die Fixkosten. Entsprechend ist der Grenzerlös \(r(x)\) die Ableitung der Erlösfunktion. Der Zuwachs der Kosten beim Übergang von \(x_1\) auf \(x_2\) Mengeneinheiten ist das Integral \(\int_{x_1}^{x_2}k(x)\,dx\), und der Gewinnzuwachs ist \(\int_{x_1}^{x_2}\big(r(x)-k(x)\big)dx\). Das Gewinnmaximum liegt dort, wo Grenzerlös und Grenzkosten gleich sind und \(r-k\) von Plus nach Minus wechselt.

Rotationskörper zwischen zwei Graphen

Hohlkörper entstehen, wenn die Fläche zwischen zwei Graphen \(f\ge g\ge0\) um die \(x\)-Achse rotiert. Jede Scheibe ist dann ein Ring mit dem äußeren Radius \(f(x)\) und dem inneren Radius \(g(x)\). Das Volumen ist deshalb \(V=\pi\int_a^b\big(f(x)^2-g(x)^2\big)dx\). Wichtig ist hier das Quadrieren vor dem Subtrahieren: \(V\neq\pi\int(f-g)^2dx\).

Trapezsumme: Integrale aus Messtabellen

Liegt eine Änderungsrate nur als Messreihe vor, lässt sich das Integral nicht über eine Stammfunktion berechnen. Dann verbindet man die Messpunkte geradlinig und summiert die Trapezflächen: \(T=\Delta t\cdot\left(\frac{y_0}2+y_1+\dots+y_{n-1}+\frac{y_n}2\right)\). Bei einer Rate, die konkav ist, liegt die Trapezsumme unter dem exakten Integral, bei konvexen Funktionen darüber. Vergleichen Sie das Ergebnis immer mit der Größenordnung, die Sie aus dem Graphen erwarten.

Rekonstruktion von Beständen im Überblick

In allen Anwendungen dieses Kapitels gilt derselbe Grundgedanke: Kennt man die momentane Änderungsrate einer Größe, so erhält man die Änderung des Bestands über einen Zeitraum als Integral der Rate. Den Bestand selbst bekommt man, indem man zum Anfangsbestand diese Änderung addiert. Eine positive Rate lässt den Bestand wachsen, eine negative lässt ihn schrumpfen. Achten Sie immer auf die Einheiten: Liter pro Minute mal Minuten ergibt Liter, Kilowatt mal Stunden ergibt Kilowattstunden. So erkennt man schnell, ob ein Ergebnis sinnvoll ist.