Exponential- und Logarithmusfunktionen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Die e-Funktion

Die Exponentialfunktion zur Basis \(\mathrm{e}\approx2{,}71828\) (Eulersche Zahl) ist die wichtigste Funktion der Analysis, denn sie ist ihre eigene Ableitung: \((\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x\). Ihr Graph verläuft oberhalb der \(x\)-Achse (\(\mathrm{e}^x>0\) für alle \(x\)), schneidet die \(y\)-Achse bei \((0|1)\) und ist streng monoton wachsend. Es gilt \(\lim_{x\to\infty}\mathrm{e}^x=\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0\); die negative \(x\)-Achse ist waagerechte Asymptote. Wegen \(\mathrm{e}^x>0\) kann man bei \(f'(x)=0\)-Gleichungen den Faktor \(\mathrm{e}^x\) stets kürzen. Potenzgesetze gelten wie gewohnt: \(\mathrm{e}^a\cdot\mathrm{e}^b=\mathrm{e}^{a+b}\), \((\mathrm{e}^a)^b=\mathrm{e}^{ab}\).

Die natürliche Logarithmusfunktion

Logarithmengesetze

• \(\ln(a\cdot b)=\ln a+\ln b\)
• \(\ln\frac ab=\ln a-\ln b\)
• \(\ln(a^r)=r\cdot\ln a\)
• \(\ln 1=0\), \(\ln\mathrm{e}=1\)

Beispiele: \(\ln8-\ln2=\ln4\), \(2\ln3+\ln\frac19=\ln9+\ln\frac19=\ln1=0\) und \(\ln(\mathrm{e}^5)-\ln(\mathrm{e}^2)=3\).

Gleichungen lösen

Ableiten und Integrieren

Mit der Kettenregel gilt \((\mathrm{e}^{kx})'=k\,\mathrm{e}^{kx}\) und \((\ln(g(x)))'=\frac{g'(x)}{g(x)}\). Stammfunktionen: \(\int\mathrm{e}^{kx}dx=\frac1k\mathrm{e}^{kx}\), \(\int\frac1xdx=\ln|x|\), \(\int\ln x\,dx=x\ln x-x\) (Probe mit der Produktregel: \((x\ln x-x)'=\ln x+1-1=\ln x\)). Beispiel: \(\int_1^{\mathrm{e}}\ln x\,dx=[x\ln x-x]_1^{\mathrm{e}}=(\mathrm{e}-\mathrm{e})-(0-1)=1\).

Wachstum und Zerfall

Kurvendiskussion mit der e-Funktion

Verschieben, Strecken und Spiegeln

Für \(f(x)=a\,\mathrm{e}^{b(x-c)}+d\) gilt: \(a\) streckt den Graphen in \(y\)-Richtung (negativ: Spiegelung an der \(x\)-Achse), \(b\) streckt in \(x\)-Richtung (negativ: Spiegelung an der \(y\)-Achse), \(c\) verschiebt nach rechts und \(d\) nach oben. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y=d\). Zum Beispiel hat \(f(x)=3-2\mathrm{e}^{-x}\) die Asymptote \(y=3\) und die Nullstelle bei \(\mathrm{e}^{-x}=\frac32\), also \(x=-\ln\frac32\approx-0{,}41\).

Wachstumsvergleich

Die e-Funktion wächst schneller als jede Potenzfunktion: \(\lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}^x}{x^n}=\infty\) für jedes \(n\). Umgekehrt wächst \(\ln x\) langsamer als jede Wurzel: \(\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}=0\). Mit dieser Faustregel bestimmt man Grenzwerte von Produkten wie \(x^2\mathrm{e}^{-x}\to0\) oder \(x\ln x\to0\) für \(x\to0^+\), ohne lange Rechnung. Im Abitur schreibt man dazu: „Die e-Funktion dominiert die Potenzfunktion.“

Begrenztes Wachstum und Abkühlung

Viele Vorgänge nähern sich einem Grenzwert \(G\): \(B(t)=G-(G-B_0)\mathrm{e}^{-kt}\). Der Bestand wächst zunächst schnell, dann immer langsamer. Ein Beispiel ist das Abkühlen eines Getränks nach \(T(t)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\): Die Umgebungstemperatur 20 °C ist die Asymptote, die Anfangstemperatur beträgt \(T(0)=80\) °C. Wann sind 40 °C erreicht? Aus \(60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}=20\) folgt \(t=10\ln3\approx11\) Minuten. Die momentane Änderungsrate \(T'(t)=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\) ist negativ und wird betragsmäßig kleiner.

Weitere Beispiele

Exponentialfunktionen zu beliebiger Basis

Jede Exponentialfunktion \(a^x\) mit \(a>0\) lässt sich als e-Funktion schreiben: \(a^x=\mathrm{e}^{x\ln a}\). Daraus folgt sofort die Ableitung \((a^x)'=\ln a\cdot a^x\). In Abituraufgaben wird die Basis \(\mathrm{e}\) bevorzugt, deshalb sollten Sie Terme wie \(2^x\) oder \(0{,}9^t\) umschreiben können. Bei einem Wachstumsfaktor von \(1{,}03\) pro Jahr ist \(k=\ln1{,}03\approx0{,}0296\), und die stetige Verzinsung mit \(k=0{,}03\) ergibt einen effektiven Jahreszins von \(\mathrm{e}^{0{,}03}-1\approx3{,}045\,\%\).

Die Definitionsmenge bei Logarithmen

Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert. Bei jeder Gleichung mit \(\ln\) bestimmen Sie deshalb zuerst die Definitionsmenge und prüfen am Ende, ob die gefundenen Lösungen dazu passen. Besonders tückisch sind Gleichungen, in denen die Logarithmengesetze die Definitionsmenge verändern: Aus \(\ln(x(x-2))\) wird \(\ln x+\ln(x-2)\), und die zweite Schreibweise erlaubt nur \(x>2\), die erste dagegen auch \(x<0\).

Altersbestimmung mit der Halbwertszeit

Das radioaktive Kohlenstoffisotop \(^{14}\mathrm{C}\) zerfällt mit der Halbwertszeit \(T=5\,730\) Jahre. Der Zerfallsfaktor ist \(k=\frac{\ln2}{5730}\approx1{,}21\cdot10^{-4}\) pro Jahr. Nach \(t\) Jahren ist noch der Anteil \(\mathrm{e}^{-kt}\) vorhanden. Aus dem gemessenen Restanteil \(p\) berechnet man das Alter durch \(t=-\frac{\ln p}k\). Diese Methode wird zur Datierung von Holz, Knochen und Textilien benutzt.

Graph und Umkehrfunktion

Der Graph von \(\ln x\) entsteht aus dem Graphen von \(\mathrm{e}^x\) durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y=x\). Beide Graphen sind in der Abbildung dargestellt; der Punkt \((0|1)\) der e-Funktion wird auf \((1|0)\) gespiegelt, die waagerechte Asymptote \(y=0\) der e-Funktion wird zur senkrechten Asymptote \(x=0\) des Logarithmus. Tangenten spiegeln sich entsprechend: Die Tangente an \(\mathrm{e}^x\) in \((0|1)\) hat die Steigung \(1\), die Tangente an \(\ln x\) in \((1|0)\) ebenfalls.

Kurvendiskussion: Ein vollständiges Beispiel mit Parameter

Bei Funktionen mit Exponentialterm lohnt es sich, den Faktor \(\mathrm{e}^{g(x)}\) früh auszuklammern. Dann hängen Nullstellen, Vorzeichen und Monotonie nur noch vom Restfaktor ab.

Exponential- und Logarithmusfunktion als Paar

Die natürliche Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus sind Umkehrfunktionen voneinander. Ihre Graphen liegen spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden \(y=x\). Was die eine Funktion bewirkt, macht die andere rückgängig: \(\ln(\mathrm e^x)=x\) für alle \(x\) und \(\mathrm e^{\ln x}=x\) für \(x>0\). Deshalb löst man Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus und Logarithmusgleichungen mit der Exponentialfunktion. Aus der Spiegelung folgen auch die Eigenschaften: Die e-Funktion hat die waagerechte Asymptote \(y=0\) und ist überall positiv, der Logarithmus hat die senkrechte Asymptote \(x=0\) und ist nur für positive Zahlen definiert.

Auch die Ableitungen passen zusammen: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung, die Ableitung des Logarithmus ist \(\frac1x\). Beim Logarithmus wird die Steigung also immer kleiner, je weiter man nach rechts geht, während sie bei der e-Funktion immer größer wird. Wer sich diese Gegensätze an den beiden Graphen klarmacht, kann viele Aufgaben schon vor der Rechnung abschätzen und Fehler leichter erkennen.