Dieser Lernzettel zum Thema Grenzwerte und Asymptoten ist für Abitur (Alter 17-19) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Verhalten im Unendlichen, Polstellen, Asymptoten, Stetigkeit. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Funktionenscharen und Exponential- und Logarithmusfunktionen, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Grenzwerte und Asymptoten Abitur Lernzettel: das lernst du
Einstieg: Wohin strebt die Konzentration?
Nach der Einnahme eines Medikaments steigt die Wirkstoffkonzentration im Blut zunächst an, erreicht ein Maximum und sinkt dann wieder. Die Ärztin interessiert sich nicht nur für den Höchstwert, sondern auch dafür, wohin der Wert langfristig strebt: Geht die Konzentration auf null zurück, oder bleibt ein Rest im Körper? Mathematisch ist das die Frage nach dem Grenzwert für \(t\to\infty\). Ähnliche Fragen stellen sich bei der Endgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers, bei den Stückkosten einer immer größeren Produktion oder bei der Sättigung einer Population.
In diesem Kapitel untersuchen wir das Verhalten von Funktionen im Unendlichen und in der Nähe von Definitionslücken. Sie lernen, waagerechte, schiefe und senkrechte Asymptoten zu bestimmen, Polstellen von hebbaren Lücken zu unterscheiden und Grenzwerte mit der e-Funktion zu berechnen.
Verhalten im Unendlichen
Definition: waagerechte Asymptote
Wie verhält sich der Funktionswert \(f(x)\), wenn \(x\) immer größer (\(x\to\infty\)) oder immer kleiner (\(x\to-\infty\)) wird? Nähert sich \(f(x)\) einer Zahl \(g\), schreibt man \(\lim_{x\to\infty}f(x)=g\); die Gerade \(y=g\) ist dann eine waagerechte Asymptote. Wächst \(f(x)\) über alle Grenzen, schreibt man \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) (bestimmte Divergenz). Einfache Grenzwerte: \(\lim_{x\to\infty}\frac1x=0\), \(\lim_{x\to\infty}\mathrm{e}^{-x}=0\), \(\lim_{x\to\infty}\mathrm{e}^x=\infty\), \(\lim_{x\to\infty}\ln x=\infty\).
Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet der Summand mit der höchsten Potenz: \(f(x)=x^3-2x\) geht für \(x\to\infty\) gegen \(\infty\) und für \(x\to-\infty\) gegen \(-\infty\). Zur Begründung klammert man die höchste Potenz aus: \(x^3(1-\frac2{x^2})\), und der Klammerterm geht gegen 1.
Gebrochenrationale Funktionen
Für \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\) mit \(\deg p=m\) und \(\deg q=n\) gilt für \(x\to\pm\infty\):
- \(m\lt n\): \(f(x)\to0\), waagerechte Asymptote \(y=0\).
- \(m=n\): \(f(x)\to\frac{a_m}{b_n}\) (Quotient der Leitkoeffizienten), waagerechte Asymptote.
- \(m=n+1\): schiefe Asymptote, die man durch Polynomdivision erhält.
- \(m>n+1\): Der Graph geht gegen \(\pm\infty\), es gibt keine lineare Asymptote.
Beispiel 1
\(f(x)=\frac{3x^2+1}{x^2-4}\). Kürzen mit \(x^2\): \(\frac{3+\frac1{x^2}}{1-\frac4{x^2}}\to3\). Waagerechte Asymptote \(y=3\).
Beispiel 2: schiefe Asymptote
\(f(x)=\frac{x^2+1}{x+2}\). Polynomdivision: \(x^2+1=(x+2)(x-2)+5\), also \(f(x)=x-2+\frac5{x+2}\). Der Bruch geht gegen null, daher ist \(y=x-2\) schiefe Asymptote.
Satz: Verhalten im Unendlichen bei gebrochenrationalen Funktionen
Für \(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\) mit \(\operatorname{grad}p=m\), \(\operatorname{grad}q=n\) gilt: Bei \(m<n\) ist die \(x\)-Achse waagerechte Asymptote; bei \(m=n\) ist \(y=\dfrac{a_m}{b_n}\) waagerechte Asymptote; bei \(m=n+1\) gibt es eine schräge Asymptote; bei \(m>n+1\) wächst \(f\) betragsmäßig unbegrenzt.
Polstellen und senkrechte Asymptoten
Definition: Polstelle
Hat der Nenner an der Stelle \(x_0\) eine Nullstelle, der Zähler aber nicht, liegt eine Polstelle vor; \(x=x_0\) ist senkrechte Asymptote. Das Verhalten links und rechts von \(x_0\) bestimmt man über das Vorzeichen: Bei \(f(x)=\frac{x+1}{x-2}\) ist der Zähler bei \(x\to2\) etwa \(3>0\); der Nenner ist für \(x\to2^+\) positiv und für \(x\to2^-\) negativ. Also \(f(x)\to+\infty\) von rechts und \(f(x)\to-\infty\) von links (Pol mit Vorzeichenwechsel). Bei \(f(x)=\frac1{(x-1)^2}\) ist der Nenner immer positiv, also \(f(x)\to+\infty\) von beiden Seiten (Pol ohne Vorzeichenwechsel).
Satz: Polstelle
Ist \(q(x_0)=0\) und \(p(x_0)\neq0\), so hat \(f\) bei \(x_0\) eine Polstelle mit der senkrechten Asymptote \(x=x_0\). Gilt \(p(x_0)=q(x_0)=0\), prüfen Sie, ob der Linearfaktor \((x-x_0)\) sich kürzen lässt; dann ist die Lücke hebbar.
Hebbare Definitionslücken
Definition: hebbar
Sind bei \(x_0\) sowohl Zähler als auch Nenner null, kann man oft kürzen: \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\) für \(x\neq1\). Der Graph ist die Gerade \(y=x+1\) mit einem „Loch“ bei \(x=1\); der Grenzwert dort ist \(\lim_{x\to1}f(x)=2\). Man nennt die Lücke hebbar, weil man \(f\) durch \(f(1)=2\) stetig fortsetzen kann.
Grenzwerte mit der e-Funktion
Die e-Funktion wächst schneller als jede Potenz: \(\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\mathrm{e}^x}=0\), also \(\lim_{x\to\infty}x^n\mathrm{e}^{-x}=0\). Für \(x\to-\infty\) gilt dagegen \(\mathrm{e}^x\to0\), und \(x\,\mathrm{e}^x\to0\). Ein weiterer wichtiger Grenzwert ist \(\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1\); er entspricht \((\mathrm{e}^x)'=1\) an der Stelle 0. Bei Scharen wie \(f(x)=2-\mathrm{e}^{-x}\) liest man die Asymptote \(y=2\) direkt ab, weil \(\mathrm{e}^{-x}\to0\).
Stetigkeit
Definition: stetig
Eine Funktion ist an der Stelle \(x_0\) stetig, wenn \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\) gilt; anschaulich lässt sich der Graph „ohne Absetzen“ zeichnen. Bei abschnittsweise definierten Funktionen setzt man an der Nahtstelle linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert gleich. Beispiel: \(f(x)=x^2\) für \(x\le2\) und \(f(x)=ax-2\) für \(x>2\). Stetigkeit verlangt \(4=2a-2\), also \(a=3\).
Beispiel 4: zur Kurvendiskussion
Beispiel 3
Gegeben ist \(f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-1}\). Nullstellen: Zähler null, also \(x=\pm2\). Polstellen: Nenner null, also \(x=\pm1\); der Zähler ist dort \(-3\neq0\). Die senkrechten Asymptoten sind \(x=1\) und \(x=-1\). Waagerechte Asymptote: Zähler- und Nennergrad sind gleich, die Leitkoeffizienten sind 1 und 1, also \(y=1\). Der Graph schneidet die Asymptote nicht, denn \(f(x)=1\) führt auf \(-4=-1\), einen Widerspruch. Aus diesen Angaben und einer Wertetabelle (zum Beispiel \(f(0)=4\)) lässt sich der Graph in drei Teilen skizzieren: links von \(-1\), zwischen \(-1\) und \(1\), und rechts von \(1\).
Vorgehen bei Aufgaben zum Verhalten im Unendlichen
So gehst du vor
- Höchste Potenz im Zähler und Nenner ausklammern und kürzen.
- Terme der Form \(\frac1{x^k}\) und \(\mathrm{e}^{-x}\) gehen gegen null.
- Ergebnis als Grenzwert notieren und Asymptote angeben, mit Gleichung.
- Für senkrechte Asymptoten: Nenner null setzen und Zähler prüfen; Vorzeichen links und rechts bestimmen.
Grenzwertsätze und Rechenregeln
Existieren die Grenzwerte \(\lim f(x)=a\) und \(\lim g(x)=b\), dann gelten die Rechenregeln \(\lim(f\pm g)=a\pm b\), \(\lim(f\cdot g)=a\cdot b\) und \(\lim\frac fg=\frac ab\) für \(b\neq0\). Problematisch sind Fälle wie \(\frac\infty\infty\) oder \(\infty-\infty\); sie sind unbestimmte Ausdrücke und liefern, je nach Funktion, ganz verschiedene Ergebnisse. Erst durch Umformen (Ausklammern der höchsten Potenz, Kürzen, Erweitern) wird der Grenzwert sichtbar. Wichtig ist außerdem die Unterscheidung: Ein uneigentlicher Grenzwert \(\lim f(x)=\infty\) bedeutet, dass \(f(x)\) über jede Schranke wächst; eine Asymptote gibt es in diesem Fall nicht.
Beispiel 5
Bestimmen Sie \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x^3-x}{2x^3+5x^2}\) und \(\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\).
Im ersten Fall klammern Sie \(x^3\) aus: \(\frac{4-\frac1{x^2}}{2+\frac5x}\to\frac42=2\). Im zweiten Fall liegt die Form \(\infty-\infty\) vor; Sie erweitern mit dem Konjugierten: \(\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac x{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\frac12\). Die Differenz zweier unbeschränkt wachsender Terme strebt also gegen \(\frac12\).
Senkrechte Asymptoten und das Vorzeichen
An einer Polstelle \(x_0\) möchte man wissen, ob die Funktionswerte gegen \(+\infty\) oder \(-\infty\) laufen, und zwar von links und von rechts getrennt. Dazu bestimmen Sie das Vorzeichen von Zähler und Nenner in der Nähe der Polstelle. Hat der Nenner an der Polstelle eine einfache Nullstelle (Faktor \(x-x_0\)), wechselt der Nenner das Vorzeichen, und die Funktion geht auf den beiden Seiten gegen unterschiedliche Unendlichkeiten. Ist die Nullstelle doppelt (Faktor \((x-x_0)^2\)), bleibt der Nenner positiv, und die Funktionswerte laufen auf beiden Seiten in dieselbe Richtung; man spricht von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Beispiel 6
Untersuchen Sie das Verhalten von \(f(x)=\dfrac{x+1}{(x-2)^2}\) an der Stelle \(x=2\).
Der Zähler ist bei \(x=2\) gleich \(3>0\). Der Nenner \((x-2)^2\) ist für alle \(x\neq2\) positiv und strebt gegen \(0\). Deshalb gilt \(f(x)\to+\infty\) sowohl für \(x\to2^-\) als auch für \(x\to2^+\); die Polstelle hat keinen Vorzeichenwechsel. Bei \(g(x)=\frac{x+1}{x-2}\) dagegen wäre \(g(x)\to-\infty\) von links und \(+\infty\) von rechts.
Asymptoten bei Exponential- und Logarithmusfunktionen
Auch Funktionen mit \(\mathrm{e}^x\) und \(\ln x\) besitzen Asymptoten. Die Funktion \(f(x)=a+b\,\mathrm{e}^{-kx}\) mit \(k>0\) hat für \(x\to\infty\) die waagerechte Asymptote \(y=a\). Der Logarithmus \(\ln x\) hat bei \(x\to0^+\) den uneigentlichen Grenzwert \(-\infty\), also die senkrechte Asymptote \(x=0\). Für \(x\to\infty\) wächst \(\ln x\) über alle Grenzen, aber langsamer als jede Wurzel. Bei Produkten wie \(x\,\mathrm{e}^{-x}\) oder \(x\ln x\) hilft die Faustregel, dass die Exponentialfunktion jede Potenz und jede Potenz den Logarithmus „besiegt“.
Beispiel 7
Ein Enzym setzt einen Stoff mit der Reaktionsgeschwindigkeit \(v(S)=\dfrac{10\,S}{2+S}\) um (\(S\) in mmol/l). Bestimmen Sie die Sättigungsgeschwindigkeit und die Konzentration für \(90\,\%\) davon.
Für \(S\to\infty\) gilt \(v(S)=\frac{10}{\frac2S+1}\to10\). Die Gerade \(y=10\) ist waagerechte Asymptote: Das Enzym kann nicht schneller als \(10\) mmol pro Minute arbeiten. Aus \(\frac{10S}{2+S}=9\) folgt \(10S=18+9S\), also \(S=18\) mmol/l.
Stetigkeit und Ableitbarkeit an Nahtstellen
Abschnittsweise definierte Funktionen werden in Abituraufgaben gern auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersucht. Stetigkeit verlangt die Gleichheit der beiden einseitigen Grenzwerte mit dem Funktionswert, Differenzierbarkeit zusätzlich die Gleichheit der beiden einseitigen Ableitungen. Eine Funktion kann stetig, aber nicht differenzierbar sein, etwa \(f(x)=|x|\) an der Stelle \(0\): Der Graph hat dort einen Knick.
Beispiel 8
Für welche Werte von \(a\) ist \(f(x)=\mathrm{e}^{x}\) für \(x<0\) und \(f(x)=ax+1\) für \(x\ge0\) an der Stelle \(0\) stetig, und für welche differenzierbar?
Der linksseitige Grenzwert ist \(\mathrm{e}^0=1\), der rechtsseitige und der Funktionswert sind \(a\cdot0+1=1\). Die Funktion ist also für jedes \(a\) stetig. Die linksseitige Ableitung ist \((\mathrm{e}^x)'=1\) bei \(x=0\), die rechtsseitige ist \(a\). Differenzierbar ist die Funktion deshalb nur für \(a=1\).
Wusstest du? Achilles und die Schildkröte
Der griechische Philosoph Zenon von Elea (5. Jahrhundert v. Chr.) behauptete, der schnelle Achilles könne eine Schildkröte mit Vorsprung nie einholen: Wenn er ihren Startpunkt erreicht, ist sie ein Stück weitergekrochen, und so fort. Die Lösung des Paradoxons ist ein Grenzwert: Die unendlich vielen Teilstrecken ergeben eine endliche Summe, zum Beispiel \(1+\frac12+\frac14+\dots=2\). Erst im 19. Jahrhundert wurde der Grenzwertbegriff mathematisch sauber definiert.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Verhalten im Unendlichen: Existiert \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=g\), so ist \(y=g\) waagerechte Asymptote; bei ganzrationalen Funktionen entscheidet der Summand mit der höchsten Potenz.
- Gebrochenrationale Funktionen: Zählergrad kleiner Nennergrad gibt \(y=0\), gleich gibt \(y=\frac{a_n}{b_n}\), Zählergrad um 1 größer gibt eine schiefe Asymptote (Polynomdivision).
- Polstelle: Nenner null, Zähler ungleich null; senkrechte Asymptote \(x=x_0\); das Vorzeichen links und rechts bestimmt man über Zähler- und Nennervorzeichen.
- Hebbare Lücke: Zähler und Nenner null, der Linearfaktor lässt sich kürzen; der Graph hat ein Loch, der Grenzwert existiert.
- Grenzwerte mit \(\mathrm{e}^x\): \(x^n\mathrm{e}^{-x}\to0\) für \(x\to\infty\), \(x\,\mathrm{e}^x\to0\) für \(x\to-\infty\), \(\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x-1}x=1\).
- Stetigkeit: linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert stimmen überein; bei abschnittsweisen Funktionen an der Nahtstelle gleichsetzen.
- Vorgehen: Zuerst kürzen und faktorisieren, dann Grenzwerte bilden; nie \(\frac\infty\infty\) direkt als 1 notieren.
- Asymptoten werden immer mit Gleichung angegeben: \(y=\dots\) (waagerecht oder schief) und \(x=\dots\) (senkrecht).
Achtung: Typische Fehler
- Eine Polstelle mit einer hebbaren Lücke verwechseln (Zähler prüfen!).
- Beim Verhalten im Unendlichen \(\frac\infty\infty\) als 1 schreiben; man muss zuerst kürzen.
- Vergessen, dass \(x\to-\infty\) ein anderes Ergebnis liefern kann als \(x\to\infty\) (z. B. bei \(\mathrm{e}^x\)).
- Die schiefe Asymptote ohne Polynomdivision „erraten“.
Ottos Tipp: Setze große Zahlen wie \(x=1000\) in die Funktion ein, um deinen Grenzwert zu überprüfen. Wenn der Taschenrechner etwas anderes zeigt, hast du dich vertan!
Ottos Tipp
Bevor Sie Grenzwerte berechnen, kürzen Sie, soweit möglich. Danach ist sofort zu sehen, ob ein Pol oder nur eine hebbare Lücke vorliegt.
So nutzt du den Lernzettel Grenzwerte und Asymptoten (Abitur)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Grenzwerte und Asymptoten und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Grenzwerte und Asymptoten und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Grenzwerte und Asymptoten (Abitur) alles, was du für das Thema brauchst.
Ähnliche Seiten
Mehr zu diesem Kapitel
ArbeitsblattGrenzwerte und Asymptoten – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF
LösungenGrenzwerte und Asymptoten – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF
Online-TestGrenzwerte und Asymptoten – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Online-Test zum Herunterladen als PDF
QuizGrenzwerte und Asymptoten – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Quiz zum Herunterladen als PDF
KlassenarbeitGrenzwerte und Asymptoten – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF
Lösungen zur KlassenarbeitGrenzwerte und Asymptoten – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF
KopfrechnenGrenzwerte und Asymptoten – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Kopfrechnen zum Herunterladen als PDFWeitere Kapitel dieser Klassenstufe
LernzettelStammfunktion und Integral – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelFlächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelAnwendungen der Integralrechnung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelProduktregel, Kettenregel und weitere Ableitungsregeln – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelFunktionenscharen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelExponential- und Logarithmusfunktionen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelExtremwertprobleme und Optimierung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelWachstumsmodelle und Differenzialgleichungen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF