Binomialverteilung und Erwartungswert – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Entscheiden Sie jeweils, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Geben Sie gegebenenfalls \(n\), \(p\) und die Bedeutung von \(X\) an.

a) Ein Würfel wird \(12\)-mal geworfen; gezählt werden die Sechsen.
b) Aus einer Urne mit \(3\) roten und \(2\) blauen Kugeln werden \(3\) Kugeln ohne Zurücklegen gezogen; gezählt werden die roten.
c) Eine Münze wird \(20\)-mal geworfen; gezählt wird „Zahl“.
d) Aus einer Lieferung von \(50\,000\) Glühlampen mit \(2\,\%\) Ausschuss werden \(100\) Lampen geprüft.

Es sei \(X\sim B(8;0{,}25)\). Rechnen Sie mit der Formel von Bernoulli und geben Sie vier Nachkommastellen an.

a) \(P(X=2)\)
b) \(P(X=0)\) und \(P(X=8)\)
c) \(P(X\le1)\)
d) Welches Ereignis ist wahrscheinlicher: „genau zwei Treffer“ oder „höchstens ein Treffer“?

Es sei \(X\sim B(20;0{,}3)\). Verwenden Sie den Taschenrechner (binomcdf) und schreiben Sie jeweils den Ansatz auf.

a) \(P(X\le5)\)
b) \(P(X\ge8)\)
c) \(P(4\le X\le7)\)
d) \(P(X>6)\) und \(P(X<6)\)

Berechnen Sie jeweils Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) und deuten Sie \(\mu\) im Sachzusammenhang.

a) Ein Würfel wird \(300\)-mal geworfen, \(X\) = Anzahl der Sechsen.
b) \(X\sim B(50;0{,}9)\): Anzahl gekeimter Samen in einer Packung mit \(50\) Samen.
c) \(X\sim B(400;0{,}5)\): Anzahl „Kopf“ bei \(400\) Münzwürfen.
d) Für welches \(p\) ist \(\sigma\) bei \(n=100\) am größten? Begründen Sie.

Ein fairer Würfel wird \(12\)-mal geworfen. \(X\) zählt die Sechsen.

a) Geben Sie die Verteilung von \(X\) an.
b) Berechnen Sie \(P(X=2)\).
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs.
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mehr als drei Sechsen.

Ein Test besteht aus \(10\) Fragen mit je vier Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Tim hat nicht gelernt und kreuzt bei jeder Frage zufällig an. Bestanden hat, wer mindestens \(5\) Fragen richtig beantwortet.

a) Begründen Sie, dass \(X\) = Anzahl richtiger Antworten binomialverteilt ist.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantwortet Tim keine Frage richtig?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er?
d) Wie viele richtige Antworten erwartet man im Mittel?

Jonas spielt in der Basketball-Jugendmannschaft und verwandelt Freiwürfe erfahrungsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}75\). In einem Spiel wirft er \(12\) Freiwürfe. Die Würfe werden als unabhängig angenommen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er genau \(9\) Freiwürfe verwandelt.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(10\) Treffer.
c) Mit wie vielen Treffern ist im Mittel zu rechnen?
d) Beurteilen Sie die Annahme der Unabhängigkeit.

Ein Ferienflieger von Düsseldorf nach Mallorca hat \(145\) Sitzplätze. Erfahrungsgemäß erscheinen \(5\,\%\) der Gebuchten nicht zum Abflug. Die Fluggesellschaft verkauft \(150\) Tickets. \(X\) sei die Anzahl der erscheinenden Fluggäste.

a) Geben Sie die Verteilung von \(X\) an und berechnen Sie \(\mu\).
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle erscheinenden Fluggäste einen Platz bekommen.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Fluggast abgewiesen werden muss.
d) Nennen Sie einen Grund, warum die Fluggesellschaft trotzdem überbucht.

Auf einer Samentüte steht: „Keimfähigkeit \(90\,\%\)“. Frau Schmidt sät im Schulgarten \(50\) Samen.

a) Wie viele Samen keimen im Mittel? Berechnen Sie auch \(\sigma\).
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(45\) Samen keimen.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens \(42\) Samen keimen.
d) Wie wahrscheinlich ist eine Keimzahl im Intervall \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]\)?

Der Förderverein verkauft beim Sommerfest \(500\) Lose zu je \(2\,€\). Es gibt \(5\) Hauptgewinne im Wert von \(30\,€\), \(45\) Gewinne im Wert von \(5\,€\) und \(100\) Trostpreise im Wert von \(1\,€\); der Rest sind Nieten.

a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Reingewinns \(G\) eines Loskäufers auf (Wert minus Einsatz).
b) Berechnen Sie \(E(G)\) und deuten Sie das Ergebnis.
c) Wie viel Geld bleibt dem Förderverein, wenn alle Lose verkauft werden und er die Preise selbst bezahlt?
d) Wie teuer müsste ein Los sein, damit das Spiel fair ist?

In jedem siebten Schokoladenei steckt laut Hersteller eine Sonderfigur. Mia möchte unbedingt eine Sonderfigur haben.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet sie in \(5\) Eiern mindestens eine Sonderfigur?
b) Wie viele Eier muss sie mindestens kaufen, um mit mindestens \(90\,\%\) Wahrscheinlichkeit wenigstens eine Sonderfigur zu finden?
c) Ein Ei kostet \(0{,}79\,€\). Was kostet diese Sicherheit?
d) Mias Bruder behauptet: „Nach \(7\) Eiern hat man sicher eine.“ Nehmen Sie Stellung.

Ein Zulieferer in Baden-Württemberg fertigt Akkus für E-Bikes. \(2\,\%\) der Akkus sind fehlerhaft. Für eine Stichprobe werden \(100\) Akkus zufällig entnommen.

a) Berechnen Sie \(\mu\) und \(\sigma\) der Anzahl fehlerhafter Akkus.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens \(2\) Akkus fehlerhaft sind.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mehr als \(4\) fehlerhafte Akkus.
d) In einer Stichprobe findet man \(7\) fehlerhafte Akkus. Was folgt daraus?

In Deutschland haben etwa \(6\,\%\) der Bevölkerung die Blutgruppe \(0\) Rhesus negativ, die als Universalspenderblut gilt. Beim Blutspendetermin im Gemeindezentrum erscheinen \(40\) Personen, die als zufällige Stichprobe gelten.

a) Wie viele Spender mit \(0\) negativ sind zu erwarten?
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keiner diese Blutgruppe hat.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(3\) Spender mit \(0\) negativ.
d) Wie viele Spender müssten mindestens kommen, damit mit \(99\,\%\) Wahrscheinlichkeit mindestens einer \(0\) negativ hat?

Im Fernverkehr erreichen etwa \(65\,\%\) der Züge ihr Ziel pünktlich. Eine Pendlerin fährt in einem Monat \(20\)-mal mit dem ICE von Hannover nach Berlin. Die Fahrten werden als unabhängig angenommen.

a) Wie viele pünktliche Fahrten sind zu erwarten?
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(15\) Fahrten pünktlich sind.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens die Hälfte pünktlich ist.
d) Die Pendlerin hatte \(9\) verspätete Fahrten. Ist das außergewöhnlich? Begründen Sie mit \(\mu\) und \(\sigma\).

Die Klasse 12b plant für den Tag der offenen Tür ein Glücksrad mit \(12\) gleich großen Feldern. Vorgesehen sind folgende Auszahlungen; der Einsatz pro Dreh soll \(1\,€\) betragen.

Die Klasse möchte mit dem Glücksrad Geld für die Abschlussfahrt einnehmen, die Besucher sollen aber nicht abgeschreckt werden.

a) Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns eines Spielers für \(a=2\).
b) Bestimmen Sie \(a\) so, dass das Spiel fair ist. Ist das möglich?
c) Die Klasse wählt \(a=1\). Wie viel Geld nimmt sie bei \(600\) Drehungen voraussichtlich ein?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt ein Besucher bei \(5\) Drehungen mindestens einmal den Jackpot?
e) Beurteilen Sie: Ist ein Glücksrad mit großem Jackpot und vielen Nieten für eine Klasse sinnvoll?

Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) mit \(n=10\).

Die Balkenhöhen sind in Prozent angegeben. Zur Auswahl stehen \(p=0{,}3\), \(p=0{,}4\) und \(p=0{,}6\).

a) Welches \(p\) passt zum Histogramm? Begründen Sie mit dem Erwartungswert und der Form.
b) Berechnen Sie \(P(X=4)\) und vergleichen Sie mit dem höchsten Balken.
c) Berechnen Sie \(P(X\le2)\).
d) Wie sähe das Histogramm für \(p=0{,}6\) aus?
e) Berechnen Sie \(\sigma\) und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) höchstens eine Standardabweichung von \(\mu\) abweicht.

In den folgenden Situationen ist jeweils ein Parameter der Binomialverteilung unbekannt. Stellen Sie einen Ansatz auf und lösen Sie ihn.

a) Bei \(n=10\) Versuchen ist \(P(X=0)=0{,}2\). Bestimmen Sie \(p\).
b) Für \(X\sim B(n;0{,}3)\) gilt \(\mu=24\). Bestimmen Sie \(n\) und \(\sigma\).
c) Für \(X\sim B(n;p)\) gilt \(\mu=12\) und \(\sigma=3\). Bestimmen Sie \(n\) und \(p\).
d) Wie viele Versuche braucht man bei \(p=0{,}05\), damit \(P(X\ge1)>0{,}5\) gilt?

Ein Baumarkt erhält Lieferungen von LED-Leuchtmitteln. Der Einkäufer prüft aus jeder Lieferung \(20\) zufällig ausgewählte Leuchtmittel. Er nimmt die Lieferung an, wenn höchstens eines defekt ist; sonst geht sie zurück. Der Anteil defekter Leuchtmittel in einer Lieferung sei \(p\).

a) Begründen Sie: Die Annahmewahrscheinlichkeit ist \(L(p)=(1-p)^{20}+20p(1-p)^{19}\).
b) Füllen Sie die Tabelle aus.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine gute Lieferung (\(p=0{,}05\)) fälschlich zurückgeschickt?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine schlechte Lieferung (\(p=0{,}2\)) angenommen?
e) Der Lieferant findet die Regel zu streng. Wie wirkt sich die Regel „höchstens zwei defekt“ aus? Rechnen Sie für \(p=0{,}05\) und \(p=0{,}2\).

Der Schulbus der Linie 7 in einer Kleinstadt in Hessen kommt an jedem Schultag unabhängig von den anderen Tagen mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\) zu spät. Eine Schulwoche hat \(5\) Schultage, ein Schulhalbjahr \(20\) Wochen. Eine Woche heißt „schlecht“, wenn der Bus an mindestens zwei Tagen zu spät kommt.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Bus in einer Woche nie zu spät kommt.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine „schlechte“ Woche.
c) Wie viele schlechte Wochen sind im Halbjahr zu erwarten?
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es im Halbjahr höchstens eine schlechte Woche gibt.
e) Erklären Sie, warum hier zwei verschiedene Binomialverteilungen nacheinander verwendet werden.

Für \(X\sim B(n;p)\) betrachtet man den Quotienten aufeinanderfolgender Wahrscheinlichkeiten \(Q(k)=\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}\).

a) Zeigen Sie: \(Q(k)=\frac{(n-k)\,p}{(k+1)(1-p)}\).
b) Zeigen Sie: \(P(X=k+1)>P(X=k)\) gilt genau dann, wenn \(k<(n+1)p-1\).
c) Bestimmen Sie damit den wahrscheinlichsten Wert für \(n=20\), \(p=0{,}3\) und prüfen Sie mit dem Taschenrechner.
d) Für welche \(p\) gibt es bei \(n=9\) zwei gleich hohe höchste Balken?