Dieser Lernzettel zum Thema Flächenberechnung mit Integralen ist für Abitur (Alter 17-19) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Fläche zwischen Graph und x-Achse, zwischen zwei Graphen, uneigentliche Integrale. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Stammfunktion und Integral, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.
Flächenberechnung mit Integralen Abitur Lernzettel: das lernst du
Einstieg: Was kostet das Grundstück am Bach?
Die Gemeinde verkauft ein Baugrundstück, dessen Grenzen nicht gerade verlaufen: An einer Seite begrenzt ein geschwungener Bach, an der anderen ein schräger Weg. Der Preis hängt vom Flächeninhalt ab, doch eine Formel für Rechtecke oder Dreiecke passt nicht. Die Vermesser legen ein Koordinatensystem über den Plan und beschreiben Bach und Weg durch Funktionsterme. Die Fläche dazwischen berechnen sie dann mit einem Integral. Genau diese Idee steckt hinter allen Flächenaufgaben der Abiturprüfung: Aus zwei Funktionstermen wird ein Flächeninhalt, und aus dem Flächeninhalt werden Material, Volumen oder Kosten.
Dazu klären wir zuerst, wann ein Integral eine Fläche misst und wann nicht, dann die Fläche zwischen zwei Graphen und die Schrittfolge, die Sie in jeder Aufgabe anwenden können. Zum Schluss folgen uneigentliche Integrale, Flächen mit Parameter, Flächenhalbierung und Anwendungen.
Vom Integral zum Flächeninhalt
Definition: orientierter
Das bestimmte Integral \(\int_a^b f(x)\,dx\) ist ein orientierter Flächeninhalt: Teile des Graphen oberhalb der \(x\)-Achse zählen positiv, Teile unterhalb negativ. Möchte man den tatsächlichen Flächeninhalt \(A\) zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse über \([a;b]\) bestimmen, muss man den Betrag jedes Teilstücks nehmen. Dazu bestimmt man alle Nullstellen von \(f\) im Intervall \((a;b)\) und integriert abschnittsweise:
\[A=\left|\int_a^{x_1}f\,dx\right|+\left|\int_{x_1}^{x_2}f\,dx\right|+\dots+\left|\int_{x_n}^{b}f\,dx\right|.\]
Beispiel 1
Gesucht ist die Fläche zwischen dem Graphen von \(f(x)=x^3-x\) und der \(x\)-Achse über \([-1;1]\). Nullstellen: \(x(x^2-1)=0\), also \(x=-1,0,1\). Mit \(F(x)=\frac{x^4}4-\frac{x^2}2\) gilt \(\int_{-1}^0f\,dx=F(0)-F(-1)=0-(-\frac14)=\frac14\) und \(\int_0^1f\,dx=F(1)-F(0)=-\frac14\). Der Flächeninhalt ist \(A=\frac14+\frac14=\frac12\), das Gesamtintegral wäre dagegen null.
Satz: Fläche zwischen Graph und x-Achse
Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse über \([a;b]\) ist \(A=\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx\). Man berechnet ihn, indem man an den Nullstellen in Teilintervalle zerlegt.
Fläche zwischen zwei Graphen
Definition: Schnittstellen
Schließen die Graphen von \(f\) und \(g\) auf \([a;b]\) eine Fläche ein, dann gilt \(A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\). Ist \(f(x)\ge g(x)\) auf dem ganzen Intervall, kann der Betrag entfallen: \(A=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx\). Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen, also die Lösungen von \(f(x)=g(x)\). Gibt es mehr als zwei Schnittstellen, muss man abschnittsweise integrieren, denn die Funktion mit dem größeren Wert wechselt.
Beispiel 2
Die Graphen von \(f(x)=x+2\) und \(g(x)=x^2\) schneiden sich bei \(x^2=x+2\), also \(x^2-x-2=0\) mit \(x_1=-1\) und \(x_2=2\). Auf \([-1;2]\) liegt die Gerade oben. Es ist \(A=\int_{-1}^2(x+2-x^2)\,dx=\big[\frac{x^2}2+2x-\frac{x^3}3\big]_{-1}^2=\frac{10}3-(-\frac76)=\frac92\).
Satz: Fläche zwischen zwei Graphen
Schneiden sich \(f\) und \(g\) in \(x_1<x_2\) und gilt \(f\ge g\) auf \([x_1;x_2]\), so ist \(A=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\).
Schrittfolge für Abituraufgaben
So gehst du vor
- Skizze oder Wertetabelle: Wo verläuft welcher Graph oben?
- Schnittstellen bestimmen (Gleichung \(f(x)=g(x)\) lösen, mögliche Substitution oder Faktorisieren).
- Differenzfunktion \(d(x)=f(x)-g(x)\) bilden und eine Stammfunktion \(D\) angeben.
- Prüfen, ob \(d\) im Intervall das Vorzeichen wechselt; wenn ja, abschnittsweise rechnen.
- Ergebnis in Flächeneinheiten (FE) angeben, im Sachzusammenhang zum Beispiel in \(\mathrm{m}^2\).
Uneigentliche Integrale
Definition: uneigentlichen Integral
Reicht ein Intervall bis ins Unendliche, spricht man von einem uneigentlichen Integral. Man definiert \(\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx\). Existiert der Grenzwert, ist die Fläche endlich, obwohl sie unbeschränkt lang ist. Ein Beispiel: \(\int_1^{\infty}\frac1{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\big[-\frac1x\big]_1^b=\lim_{b\to\infty}\big(1-\frac1b\big)=1\). Dagegen divergiert \(\int_1^\infty\frac1x\,dx=\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty\). Auch \(\int_0^\infty\mathrm{e}^{-x}dx=\lim_{b\to\infty}(1-\mathrm{e}^{-b})=1\) ist endlich. Daran sieht man: Nur wenn der Graph schnell genug gegen 0 geht, ist die Fläche endlich.
Flächen mit Parameter
Häufig kommt im Abitur ein Parameter \(a\) vor. Beispiel: Der Graph von \(f_a(x)=ax-x^2\) mit \(a>0\) schließt mit der \(x\)-Achse eine Fläche ein. Nullstellen sind \(0\) und \(a\). Dann ist \(A(a)=\int_0^a(ax-x^2)\,dx=\big[\frac{ax^2}2-\frac{x^3}3\big]_0^a=\frac{a^3}2-\frac{a^3}3=\frac{a^3}6\). Soll der Flächeninhalt 36 FE betragen, löst man \(\frac{a^3}6=36\), also \(a^3=216\) und \(a=6\).
Flächen halbieren
Soll eine senkrechte Gerade \(x=k\) die Fläche unter dem Graphen halbieren, setzt man \(\int_a^k f\,dx=\frac12\int_a^b f\,dx\). Beispiel: Unter \(f(x)=x^2\) über \([0;2]\) liegt die Fläche \(\frac83\). Die Gerade \(x=k\) halbiert sie, wenn \(\frac{k^3}3=\frac43\), also \(k=\sqrt[3]{4}\approx1{,}59\).
Weitere Beispiele
Beispiel 3: Dreiecksfläche prüfen
Die Fläche zwischen \(f(x)=2x\) und der \(x\)-Achse über \([0;3]\) ist ein Dreieck mit Grundseite 3 und Höhe 6, also \(A=\frac12\cdot3\cdot6=9\). Mit dem Integral: \(\int_0^3 2x\,dx=[x^2]_0^3=9\). Solche geometrischen Kontrollen helfen, Rechenfehler zu finden.
Beispiel 4: drei Schnittstellen
Für \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=x\) gilt \(x^3=x\), also \(x(x-1)(x+1)=0\) mit den Schnittstellen \(-1,0,1\). Auf \([-1;0]\) ist \(f\ge g\), auf \([0;1]\) ist \(g\ge f\). Beide Teilflächen betragen \(\frac14\), die Gesamtfläche ist \(\frac12\). Würde man ohne Beträge von \(-1\) bis \(1\) integrieren, erhielte man null und damit ein falsches Ergebnis.
Beispiel 5: Sachaufgabe
Ein Gartenteich hat im Querschnitt die Form, die durch \(f(x)=0{,}25x^2-1\) (in Metern, \(-2\le x\le2\)) und die Gerade \(y=0\) begrenzt wird. Die Querschnittsfläche beträgt \(\int_{-2}^2(0-(0{,}25x^2-1))\,dx=\int_{-2}^2(1-0{,}25x^2)\,dx=[x-\frac{x^3}{12}]_{-2}^2=\frac43+\frac43=\frac83\approx2{,}67\,\mathrm{m}^2\). Multipliziert man mit der Länge des Teichs, erhält man sein Volumen.
Kontrollfragen vor dem Abgeben
- Ist das Ergebnis positiv und plausibel groß (Vergleich mit einem umschriebenen Rechteck)?
- Wurden alle Nullstellen im Intervall berücksichtigt?
- Stimmen Einheit und Rundung mit der Aufgabenstellung überein?
- Bei uneigentlichen Integralen: Wurde der Grenzwert wirklich begründet (Term, der gegen null geht)?
Flächen mit Tangente und \(y\)-Achse
Nicht immer sind die Integrationsgrenzen Schnittstellen zweier Graphen. Begrenzt auch die \(y\)-Achse oder eine senkrechte Gerade die Fläche, so ist die Grenze durch die Gleichung dieser Geraden vorgegeben, zum Beispiel \(x=0\). Besonders häufig wird in Abituraufgaben die Fläche zwischen einem Graphen, seiner Tangente in einem Punkt und der \(y\)-Achse verlangt. Dann bestimmen Sie zuerst die Tangente über \(t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) und integrieren anschließend die Differenz von Funktion und Tangente.
Beispiel 6
Die Parabel \(f(x)=x^2\), ihre Tangente im Punkt \(P(2|4)\) und die \(y\)-Achse begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt.
Es gilt \(f'(x)=2x\), also \(f'(2)=4\) und die Tangente lautet \(t(x)=4+4(x-2)=4x-4\). Die Parabel liegt oberhalb der Tangente, denn \(x^2-(4x-4)=(x-2)^2\ge0\). Die Fläche reicht von \(x=0\) (\(y\)-Achse) bis \(x=2\) (Berührstelle): \(A=\int_0^2(x-2)^2\,dx=\left[\frac{(x-2)^3}3\right]_0^2=0-\left(-\frac83\right)=\frac83\) FE.
Sachaufgaben: Querschnitt, Volumen und Kosten
In vielen Sachaufgaben beschreibt ein Funktionsterm den Querschnitt eines Bauwerks: eines Tunnels, eines Teichs, eines Brückenbogens oder eines Kanals. Die Querschnittsfläche \(A\) in Quadratmetern ergibt, mit der Länge \(\ell\) multipliziert, das Volumen \(V=A\cdot\ell\) in Kubikmetern. Wird die Fläche mit einem Preis pro Quadratmeter multipliziert, ergeben sich Kosten für Fenster, Planen oder Rasenansaat. Achten Sie auf die Einheiten: Wenn die Koordinaten in Metern gemessen werden, ist ein Flächeneinheit ein Quadratmeter. Wenn eine Längeneinheit dagegen zehn Meter bedeutet, entspricht eine Flächeneinheit hundert Quadratmetern.
Beispiel 7
Ein Entwässerungsgraben hat den Querschnitt zwischen \(f(x)=0{,}5x^2-2\) und der Geraden \(y=0\) (Maße in Metern). Wie viele Liter fasst er bei \(40\) m Länge?
Die Nullstellen von \(f\) sind \(x=\pm2\). Die Querschnittsfläche ist \(A=\int_{-2}^2(0-f(x))\,dx=\int_{-2}^2(2-0{,}5x^2)\,dx=2\left[2x-\frac{x^3}6\right]_0^2=2\left(4-\frac86\right)=\frac{16}3\,\mathrm{m}^2\). Das Volumen beträgt \(V=\frac{16}3\cdot40=\frac{640}3\approx213{,}3\,\mathrm{m}^3\), das sind rund \(213\,300\) Liter.
Schnittstellen mit dem Rechner
Nicht jede Schnittgleichung lässt sich von Hand lösen. Bei \(\mathrm{e}^x=x+2\) etwa gibt es keine Lösung in geschlossener Form. Im Teil mit Hilfsmitteln bestimmen Sie die Schnittstellen mit dem Solver oder dem Schnittpunktbefehl des Taschenrechners, speichern sie unter \(a\) und \(b\) und lassen dann das Integral auswerten. Notieren Sie im Lösungsweg trotzdem die Differenzfunktion, die Grenzen auf drei Nachkommastellen und das Ergebnis mit Einheit. Eine kurze Plausibilitätskontrolle (Vergleich mit einem Rechteck) schützt vor Eingabefehlern.
Beispiel 8
Die Graphen von \(f(x)=\mathrm{e}^x\) und \(g(x)=x+2\) schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie ihren Inhalt.
Die Gleichung \(\mathrm{e}^x=x+2\) hat die Lösungen \(x_1\approx-1{,}841\) und \(x_2\approx1{,}146\). Dazwischen liegt die Gerade oben. Mit der Stammfunktion \(D(x)=\frac{x^2}2+2x-\mathrm{e}^x\) von \(d(x)=x+2-\mathrm{e}^x\) folgt \(A=D(x_2)-D(x_1)\approx1{,}949\) FE. Plausibilität: Das Rechteck mit Breite \(3\) und mittlerer Höhe \(1{,}3\) hätte etwa \(3{,}9\) FE; die Fläche ist ein flacher Bogen, also nur etwa halb so groß.
Flächeninhaltsfunktion und Umkehraufgaben
Häufig soll nicht eine Zahl, sondern eine Funktion bestimmt werden: der Flächeninhalt \(A(c)=\int_0^cf(x)\,dx\) in Abhängigkeit von der Obergrenze. Dann ist \(A\) eine Stammfunktion von \(f\) mit \(A(0)=0\), und die Umkehrfrage „Für welches \(c\) hat die Fläche den Inhalt 10 FE?“ ist eine Gleichung für \(c\). Auch Aufgaben mit einem Parameter \(a\) im Funktionsterm laufen so ab: erst das Integral allgemein berechnen, dann die Bedingung einsetzen.
Beispiel 9
Für welches \(c>0\) hat die Fläche unter \(f(x)=\sqrt x\) über \([0;c]\) den Inhalt \(18\) FE?
Mit \(F(x)=\frac23x^{3/2}\) gilt \(A(c)=\frac23c^{3/2}\). Aus \(\frac23c^{3/2}=18\) folgt \(c^{3/2}=27\), also \(c=27^{2/3}=9\). Probe: \(\frac23\cdot9^{3/2}=\frac23\cdot27=18\).
Beispiel 10
Zeigen Sie, dass die Fläche unter \(f(x)=\mathrm{e}^{-x}\) über \([0;\infty)\) den Inhalt \(1\) hat, und bestimmen Sie, wie groß \(b\) mindestens sein muss, damit die Fläche über \([0;b]\) mindestens \(99\,\%\) davon enthält.
Es ist \(\int_0^b\mathrm{e}^{-x}dx=1-\mathrm{e}^{-b}\to1\) für \(b\to\infty\). Die Bedingung \(1-\mathrm{e}^{-b}\ge0{,}99\) bedeutet \(\mathrm{e}^{-b}\le0{,}01\), also \(b\ge\ln100\approx4{,}61\). Schon nach etwa viereinhalb Längeneinheiten ist die unendlich lange Fläche fast vollständig erfasst.
Wusstest du? Archimedes und die Parabel
Schon Archimedes berechnete um 250 v. Chr. den Flächeninhalt eines Parabelsegments, ohne Integralrechnung, mit einer Ausschöpfungsmethode. Er zeigte, dass es genau \(\frac43\) des Inhalts des einbeschriebenen Dreiecks hat. Auch heute führt die Aufgabe „Parabel und Sehne“ immer auf den Faktor \(\frac16\): Für eine Parabel \(y=ax^2+bx+c\) mit den Schnittstellen \(x_1,x_2\) mit einer Geraden gilt \(A=\frac{|a|}6(x_2-x_1)^3\). Das ist eine schöne Kontrolle für Ihre Rechnung.
Merke: Das Wichtigste auf einen Blick
- Das Integral liefert den orientierten Flächeninhalt; für den echten Flächeninhalt wird an den Nullstellen von \(f\) in Teilintervalle zerlegt und von jedem Teil der Betrag genommen.
- Fläche zwischen zwei Graphen: \(A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\) mit den Schnittstellen als Grenzen; liegt \(f\) oben, genügt \(\int_a^b(f-g)\,dx\).
- Vorgehen: Skizze oder Wertetabelle, Schnittstellen bestimmen, Differenzfunktion bilden, Vorzeichenwechsel prüfen, Ergebnis mit Einheit (FE oder \(\mathrm{m}^2\)) angeben.
- Bei drei oder mehr Schnittstellen wechselt die obere Funktion; dann muss abschnittsweise integriert werden, sonst gleichen sich Teilflächen fälschlich aus.
- Uneigentliche Integrale: \(\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf\,dx\); \(\int_1^\infty x^{-2}dx=1\) konvergiert, \(\int_1^\infty\frac1x dx\) divergiert.
- Flächen mit Parameter: Flächeninhalt \(A(a)\) als Term in \(a\) berechnen, dann Bedingungen wie \(A(a)=36\) nach \(a\) auflösen.
- Flächenhalbierung: Die Grenze \(k\) bestimmt man aus \(\int_a^kf\,dx=\frac12\int_a^bf\,dx\).
- Im Sachzusammenhang liefert der Querschnitt mal die Länge das Volumen; Kosten entstehen aus Fläche mal Preis pro Quadratmeter.
Achtung: Typische Fehler
- Gesamtintegral statt Flächeninhalt berechnen, obwohl der Graph die \(x\)-Achse schneidet.
- Falsche Reihenfolge bei \(f-g\) und dadurch ein negatives Ergebnis; der Flächeninhalt ist stets positiv.
- Schnittstellen vergessen oder eine Lösung der quadratischen Gleichung weglassen.
- Obere und untere Grenze vertauschen oder beim Einsetzen negativer Zahlen Klammern vergessen.
Ottos Tipp: Eine kleine Skizze zeigt dir sofort, wo welcher Graph oben liegt. Zeichne auch dann, wenn die Aufgabe keine Skizze verlangt!
Ottos Tipp
Skizzieren Sie die Graphen immer grob, bevor Sie integrieren. Die Skizze zeigt, welche Funktion oben liegt und wie viele Teilflächen es gibt.
So nutzt du den Lernzettel Flächenberechnung mit Integralen (Abitur)
Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Flächenberechnung mit Integralen und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Flächenberechnung mit Integralen und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.
Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Flächenberechnung mit Integralen (Abitur) alles, was du für das Thema brauchst.
Ähnliche Seiten
Mehr zu diesem Kapitel
ArbeitsblattFlächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF
LösungenFlächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF
Online-TestFlächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Online-Test zum Herunterladen als PDF
QuizFlächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Quiz zum Herunterladen als PDF
KlassenarbeitFlächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF
Lösungen zur KlassenarbeitFlächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF
KopfrechnenFlächenberechnung mit Integralen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Kopfrechnen zum Herunterladen als PDFWeitere Kapitel dieser Klassenstufe
LernzettelStammfunktion und Integral – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelAnwendungen der Integralrechnung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelProduktregel, Kettenregel und weitere Ableitungsregeln – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelFunktionenscharen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelExponential- und Logarithmusfunktionen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelGrenzwerte und Asymptoten – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelExtremwertprobleme und Optimierung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF
LernzettelWachstumsmodelle und Differenzialgleichungen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF