Skalarprodukt, Abstände und Winkel – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Das Skalarprodukt

Orthogonalität und rechte Winkel

Ein Dreieck \(ABC\) hat bei \(A\) einen rechten Winkel, wenn \(\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=0\). Mit \(A(1|0|0)\), \(B(3|1|2)\), \(C(2|0|-1)\) ist \(\overrightarrow{AB}=(2|1|2)^T\) und \(\overrightarrow{AC}=(1|0|-1)^T\), das Skalarprodukt \(2+0-2=0\): rechter Winkel bei \(A\). Sucht man \(k\) mit \((k|2|-1)^T\perp(3|1|4)^T\), löst man \(3k+2-4=0\) und erhält \(k=\frac23\).

Das Kreuzprodukt

Abstand Punkt–Ebene

Abstand Punkt–Gerade

Für \(g:\ \vec x=\vec a+r\vec u\) und \(P\): Stellen Sie die Hilfsebene \(H\) durch \(P\) mit Normalenvektor \(\vec u\) auf, bestimmen Sie den Schnittpunkt \(F\) von \(g\) und \(H\) (Lotfußpunkt) und berechnen Sie \(|\overrightarrow{PF}|\). Alternativ: \(d=\frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec u|}{|\vec u|}\). Beispiel: \(g:\ \vec x=(1|0|0)^T+r(1|1|0)^T\), \(P(2|2|3)\). Hilfsebene \(x_1+x_2=4\); Einsetzen \((1+r)+r=4\Rightarrow r=1{,}5\); \(F(2{,}5|1{,}5|0)\); \(\overrightarrow{PF}=(0{,}5|-0{,}5|-3)^T\), \(|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{9{,}5}\approx3{,}08\).

Weitere Abstände

Anwendung: Körper und Höhen

In Abituraufgaben zu Pyramiden, Quadern und Prismen kommen alle Werkzeuge gemeinsam vor. Typische Teilaufgaben lauten: „Berechnen Sie den Winkel zwischen zwei Kanten“ (Skalarprodukt), „Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Grundfläche“ (Kreuzprodukt), „Berechnen Sie die Höhe der Pyramide“ (Abstand der Spitze von der Grundflächenebene) und „Bestimmen Sie das Volumen“ (Spatprodukt oder \(V=\frac13G\,h\)). Die Höhe \(h\) ist der Abstand der Spitze von der Ebene der Grundfläche; mit der Koordinatenform der Grundflächenebene rechnen Sie ihn über die Hessesche Normalenform. Als Kontrolle berechnen Sie das Volumen auf zwei Wegen, zum Beispiel einmal mit dem Spatprodukt und einmal mit Grundfläche mal Höhe durch drei.

Rechenablauf für Winkel

Weitere Beispiele

Lotfußpunkt und Spiegelpunkt an einer Ebene

Statt mit der Abstandsformel kann man den Abstand eines Punktes \(P\) von einer Ebene auch geometrisch bestimmen. Man stellt die Lotgerade \(\vec x=\vec p+r\vec n\) auf, die senkrecht auf der Ebene steht, und schneidet sie mit \(E\). Der Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt \(F\), der Abstand ist \(|\overrightarrow{PF}|\). Setzt man den doppelten Parameter ein, erhält man den Spiegelpunkt \(P'\) von \(P\) an \(E\). Dieses Verfahren liefert also drei Ergebnisse auf einmal.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Der kürzeste Weg von \(P\) zu einer Geraden \(g\) steht senkrecht auf \(g\). Für den Lotfußpunkt \(F=\vec a+r\vec u\) muss deshalb der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) orthogonal zum Richtungsvektor sein: \((\vec a+r\vec u-\vec p)\circ\vec u=0\). Diese Gleichung ist linear in \(r\). Alternativ kann man mit dem Kreuzprodukt rechnen: Das von \(\overrightarrow{AP}\) und \(\vec u\) aufgespannte Parallelogramm hat die Fläche \(|\overrightarrow{AP}\times\vec u|\); teilt man durch die Grundseite \(|\vec u|\), bleibt die Höhe, also der Abstand.

Flächen und Volumina mit Vektoren

Das Kreuzprodukt verbindet Algebra und Geometrie: Seine Länge ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, seine Richtung die Normale. Nimmt man das Skalarprodukt mit einem dritten Kantenvektor, erhält man das Volumen des Spats; Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche haben ein Sechstel davon. So lassen sich Volumina auch dann berechnen, wenn keine Kante senkrecht auf der Grundfläche steht.

Abstände paralleler Objekte

Sind zwei Ebenen parallel, haben alle Punkte der einen Ebene denselben Abstand zur anderen. Man wählt daher einen bequemen Punkt, etwa einen Spurpunkt, und setzt ihn in die Hessesche Normalenform der anderen Ebene ein. Genauso geht man bei einer Geraden vor, die parallel zu einer Ebene verläuft: Der Abstand des Stützpunkts ist der Abstand der ganzen Geraden. Bei parallelen Geraden berechnet man den Abstand eines Punktes der einen Geraden zur anderen Geraden. Prüfen Sie vorher immer, ob die Objekte wirklich parallel sind; schneiden sie sich, ist der Abstand null.

Das Skalarprodukt anschaulich: Projektion

Das Skalarprodukt hat eine anschauliche Bedeutung. Projiziert man den Vektor \(\vec a\) senkrecht auf die Richtung von \(\vec b\), so entsteht ein Schatten der Länge \(|\vec a|\cos\varphi\). Das Skalarprodukt ist dieser Schatten multipliziert mit der Länge von \(\vec b\). Ist der Winkel spitz, zeigt der Schatten in Richtung von \(\vec b\), und das Skalarprodukt ist positiv. Ist der Winkel stumpf, zeigt der Schatten in die Gegenrichtung, und das Skalarprodukt wird negativ. Bei einem rechten Winkel schrumpft der Schatten auf einen Punkt, das Skalarprodukt ist null.

Genau diese Projektion steckt in der Hesseschen Normalenform. Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die Länge der Projektion eines Verbindungsvektors auf die Normalenrichtung. Auch in der Physik begegnet man der Projektion: Die Arbeit, die eine Kraft an einem Wagen verrichtet, ist das Skalarprodukt aus Kraft und Weg. Zieht man einen Bollerwagen schräg an der Deichsel, trägt nur der Anteil der Kraft in Fahrtrichtung zur Bewegung bei. Wer diese Vorstellung verinnerlicht, versteht auch, warum die Abstandsformel nicht vom gewählten Ebenenpunkt abhängt: Alle Verbindungsvektoren haben dieselbe Projektion auf die Normale. Diese geometrische Sicht hilft auch dabei, Rechenergebnisse schnell auf Plausibilität zu prüfen, bevor man sie in eine Abiturlösung übernimmt.