Vektoren und Geometrie im Raum – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Verbindungsvektor „Spitze minus Fuß“: \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}3-1\\2-(-2)\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}\) (1 P.). Der Abstand der Punkte ist die Länge dieses Vektors, berechnet mit dem räumlichen Pythagoras: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6\) LE (2 P.).
   b) Der Mittelpunkt hat als Koordinaten die Mittelwerte der Koordinaten von \(A\) und \(B\), gleichwertig \(\vec m=\vec a+\frac12\overrightarrow{AB}\): \(M(\frac{1+3}{2}|\frac{-2+2}{2}|\frac{3+(-1)}{2})=M(2|0|1)\) (1 P.). Kontrolle: \(|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{1+4+4}=3\), genau die halbe Streckenlänge. Antwort: \(\overrightarrow{AB}=(2;4;-4)\), Abstand \(6\), Mittelpunkt \(M(2|0|1)\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Skalare Multiplikation wirkt auf jede Komponente: \(2\vec a=\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}\). Subtraktion komponentenweise: \(2\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}2-3\\4-0\\-4-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\4\\-5\end{pmatrix}\) (2 P.). Betrag von \(\vec a\): \(|\vec a|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt9=3\) (1 P.).
   b) Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Gesucht ist ein Faktor \(r\) mit \(r\cdot\vec a=\begin{pmatrix}-2\\-4\\4\end{pmatrix}\). Aus der ersten Komponente folgt \(r=-2\); Kontrolle der übrigen: \(-2\cdot2=-4\) und \(-2\cdot(-2)=4\), beide stimmen. Der Vektor ist kollinear zu \(\vec a\), doppelt so lang und entgegengesetzt gerichtet (1 P.).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Im Parallelogramm \(ABCD\) sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel, also \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}6-5\\5-2\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\) (1 P.). Dann \(\vec d=\vec a+\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}2+1\\1+3\\0+2\end{pmatrix}\), also \(D(3|4|2)\) (1 P.). Die Reihenfolge der Buchstaben ist wichtig: Bei \(ABCD\) liegt \(D\) gegenüber von \(B\).
   b) \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}6-3\\5-4\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\) (1 P.). Die Vektoren stimmen überein, also ist \(ABCD\) tatsächlich ein Parallelogramm (1 P.). Zusätzliche Kontrolle: Die Diagonalen halbieren sich; Mittelpunkt von \(AC\) und von \(BD\) ist jeweils \((4|3|1{,}5)\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Eine Geradengleichung braucht einen Stützvektor (Ortsvektor von \(A\)) und einen Richtungsvektor \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Also \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\) (1 P.).
   b) Punktprobe \(P\): Man setzt \(\vec x=\vec p\) und löst jede Zeile nach \(t\). \(1+2t=7\Rightarrow t=3\); \(2-t=-1\Rightarrow t=3\); \(2t=6\Rightarrow t=3\). Alle drei Zeilen liefern denselben Wert, \(P\) liegt auf \(g\) (1,5 P.). Punktprobe \(Q\): \(1+2t=5\Rightarrow t=2\); \(2-t=0\Rightarrow t=2\); aber die dritte Zeile verlangt \(2t=3\), also \(t=1{,}5\). Widerspruch, \(Q\) liegt nicht auf \(g\) (1,5 P.). Es reicht nicht, nur zwei Zeilen zu prüfen; erst die dritte Komponente entscheidet bei \(Q\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Das Seil von \(A\) zur Spitze: \(\overrightarrow{AS}=\begin{pmatrix}0-6\\0-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\8\end{pmatrix}\), Länge \(\sqrt{36+0+64}=\sqrt{100}=10\) m (1 P.). Das Seil von \(B\): \(\overrightarrow{BS}=\begin{pmatrix}0\\6\\8\end{pmatrix}\), Länge \(\sqrt{0+36+64}=10\) m (1 P.). Beide Ankerpunkte sind \(6\) m vom Mastfuß entfernt, deshalb sind die Seile gleich lang; jedes bildet mit Mast und Boden ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten \(6\), \(8\), \(10\).
   b) Insgesamt werden \(2\cdot10=20\) m Seil benötigt, ohne Zugabe für Knoten (1 P.).
   c) Mitte von \(AS\): \(\vec m=\frac12(\vec a+\vec s)\), also \(M(\frac{6+0}{2}|0|\frac{0+8}{2})=M(3|0|4)\). Das Warnschild hängt \(4\) m über dem Boden, \(3\) m vom Mast entfernt (1 P.).

Gesamt : 20 Punkte