Einführung in die Integralrechnung – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   Eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) erfüllt \(F'=f\). Für Potenzen gilt die Umkehrung der Potenzregel: \(x^n\) wird zu \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) (für \(n\ne-1\)).
   a) Summandenweise: \(6\cdot\frac{x^3}{3}=2x^3\), \(-4\cdot\frac{x^2}{2}=-2x^2\), \(1\) wird zu \(x\). Also \(F(x)=2x^3-2x^2+x\) (1 P.). Probe: \(F'(x)=6x^2-4x+1=f(x)\) (1 P.). Jede weitere Stammfunktion unterscheidet sich nur um eine Konstante \(C\).
   b) Erst als Potenz schreiben: \(g(x)=x^3-x^{-2}\). Dann \(\frac{x^4}{4}\) und \(-\frac{x^{-1}}{-1}=x^{-1}\): \(G(x)=\frac14x^4+\frac1x\) (1 P.). Probe: \(G'(x)=x^3-x^{-2}=x^3-\frac1{x^2}\), passt (1 P.). Häufiger Fehler: Vorzeichen beim Teilen durch \(-1\) übersehen.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)\) mit einer beliebigen Stammfunktion \(F\).
   a) Stammfunktion von \(3x^2-2\): \(F(x)=x^3-2x\) (1 P.). Obere minus untere Grenze: \(F(3)=27-6=21\) und \(F(1)=1-2=-1\), also \(21-(-1)=22\) (1 P.). Die Klammer um \(F(1)\) ist wichtig, sonst entsteht das falsche Ergebnis \(20\).
   b) Stammfunktion von \(x^3+x\): \(F(x)=\frac14x^4+\frac12x^2\) (1 P.). \(F(2)=\frac{16}{4}+\frac42=4+2=6\) und \(F(0)=0\), also \(\int_0^2(x^3+x)\,\mathrm{d}x=6\) (1 P.). Weil beide Integranden im jeweiligen Intervall positiv sind, entsprechen die Werte \(22\) und \(6\) den Flächen unter den Graphen. Antwort: \(22\) und \(6\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen mit der \(x\)-Achse. \(-x^2+4x=0\) wird durch Ausklammern zu \(-x(x-4)=0\), also \(x=0\) oder \(x=4\) (1 P.).
   b) Die Parabel ist nach unten geöffnet; zwischen den Nullstellen verläuft sie oberhalb der \(x\)-Achse, das Integral ist dort positiv und gleich dem Flächeninhalt. Stammfunktion: \(F(x)=-\frac13x^3+2x^2\) (1 P.). \(F(4)=-\frac{64}{3}+32=\frac{32}{3}\), \(F(0)=0\) (1 P.). Flächeninhalt: \(A=\frac{32}{3}\approx10{,}67\) FE (1 P.). Plausibilitätskontrolle: Das umschließende Rechteck mit Breite \(4\) und Scheitelhöhe \(f(2)=4\) hat \(16\) FE; eine Parabelfläche nimmt davon genau \(\frac23\) ein, und \(\frac23\cdot16=\frac{32}{3}\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Die größte Zuflussrate findet man mit der Ableitung: \(r'(t)=6-2t=0\) ergibt \(t=3\); da \(r''(t)=-2\lt0\), liegt ein Maximum vor. \(r(3)=18-9=9\) Liter pro Minute (1 P.).
   b) Die zugeflossene Menge ist das Integral der Rate (rekonstruierter Bestand): \(\int_0^6(6t-t^2)\,\mathrm{d}t=\left[3t^2-\frac13t^3\right]_0^6=108-72=36\) Liter (2 P.).
   c) Zum Anfangsbestand kommt der Zufluss hinzu: \(20+36=56\) Liter (1 P.).
   d) Mittlere Rate gleich Gesamtzufluss durch Zeit: \(\frac{36}{6}=6\) Liter pro Minute (1 P.). Das ist der Mittelwert der Funktion \(r\) auf \([0;6]\); ein Rechteck der Höhe \(6\) und Breite \(6\) hat dieselbe Fläche wie die Fläche unter \(r\). Antwort: maximal \(9\) l/min bei \(t=3\); \(36\) l Zufluss; \(56\) l im Becken; \(6\) l/min im Mittel.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) Stammfunktion von \(2x\) ist \(x^2\). Mit dem Hauptsatz: \(\int_0^a2x\,\mathrm{d}x=\left[x^2\right]_0^a=a^2-0^2=a^2\) (1 P.). Geometrisch ist das die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Grundseite \(a\) und Höhe \(2a\), also \(\frac12\cdot a\cdot2a=a^2\), dieselbe Formel.
   b) Die Bedingung lautet nun \(a^2=16\) (1 P.). Rechnerisch gibt es die Lösungen \(a=4\) und \(a=-4\); verlangt ist aber \(a\gt0\), deshalb bleibt nur \(a=4\) (1 P.). Probe: \(\int_0^42x\,\mathrm{d}x=16-0=16\). Die negative Lösung hätte übrigens auch den Wert \(16\) geliefert, weil die Grenzen dann vertauscht sind und die Fläche unterhalb der Achse liegt. Antwort: \(a=4\).

Gesamt : 20 Punkte