Vektoren und Geometrie im Raum Klasse 11 Arbeitsblatt mit Lösungen zum Herunterladen als PDF

Dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Thema Vektoren und Geometrie im Raum (Klasse 11) enthält 20 Aufgaben, von einfachen Übungen bis zu Sachaufgaben. Die Lösungen stehen auf einer eigenen Seite, damit du zuerst selbst rechnest.

Aufgabe 1 – Verbindungsvektoren
Gegeben sind die Punkte \(A(1\,|\,2\,|\,3)\), \(B(4\,|\,-1\,|\,5)\) und \(C(0\,|\,0\,|\,2)\).
a) Berechne \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) und \(\overrightarrow{CA}\).
b) Berechne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) und erkläre das Ergebnis.
c) Gib \(\overrightarrow{BA}\) an.
Aufgabe 2 – Rechnen mit Vektoren
Gegeben sind \(\vec a=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}-1\\4\\0\end{pmatrix}\).
a) \(\vec a+\vec b\)
b) \(\vec a-\vec b\)
c) \(3\vec a-2\vec b\)
d) \(-\vec a\)
Aufgabe 3 – Längen von Vektoren
Berechne die Längen der Vektoren. Gib exakte Werte und, wo nötig, Näherungen an.
a) \(\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\)
b) \(\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\)
c) \(\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\)
d) \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)
Aufgabe 4 – Abstand und Mittelpunkt
Gegeben sind \(A(2\,|\,-1\,|\,4)\) und \(B(6\,|\,3\,|\,2)\).
a) Berechne \(\overrightarrow{AB}\).
b) Berechne den Abstand der Punkte.
c) Bestimme den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(AB\).
d) Prüfe, dass \(|\overrightarrow{AM}|\) halb so groß ist wie \(|\overrightarrow{AB}|\).
Aufgabe 5 – Kollinear oder nicht?
Prüfe jeweils, ob die Vektoren kollinear (parallel) sind. Gib gegebenenfalls den Faktor \(k\) an.
a) \(\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\)
b) \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\)
c) \(\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}0\\-6\\2\end{pmatrix}\)
Aufgabe 6 – Die vierte Ecke des Parallelogramms
Die Punkte \(A(1\,|\,0\,|\,2)\), \(B(4\,|\,1\,|\,3)\) und \(C(5\,|\,4\,|\,1)\) sind Ecken eines Parallelogramms \(ABCD\).
a) Berechne \(\overrightarrow{BC}\) und bestimme \(D\) mit \(\vec d=\vec a+\overrightarrow{BC}\).
b) Prüfe, dass \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) gilt.
c) Zeige, dass sich die Diagonalen halbieren.
Aufgabe 7 – Geradengleichung und Punktprobe
Die Gerade \(g\) geht durch \(A(2\,|\,1\,|\,0)\) und \(B(4\,|\,0\,|\,3)\).
a) Stelle eine Gleichung von \(g\) auf.
b) Liegt \(P(8\,|\,-2\,|\,9)\) auf \(g\)?
c) Liegt \(Q(0\,|\,2\,|\,-3)\) auf \(g\)?
d) Liegt \(R(6\,|\,-1\,|\,5)\) auf \(g\)?
Aufgabe 8 – Der Spielwürfel
Ein großer Schaumstoffwürfel für den Sportunterricht hat die Kantenlänge \(4\) dm. Er steht so im Koordinatensystem: \(D\) im Ursprung, \(A(4\,|\,0\,|\,0)\), \(C(0\,|\,4\,|\,0)\), die Deckfläche \(EFGH\) liegt in der Höhe \(4\).
a) Gib die Koordinaten aller acht Ecken an.
b) Berechne die Länge der Flächendiagonale \(\overline{AC}\).
c) Berechne die Länge der Raumdiagonale \(\overline{AG}\).
d) \(M\) ist der Mittelpunkt der Deckfläche. Berechne \(|\overrightarrow{AM}|\).
Aufgabe 9 – Das Pyramidenzelt
Ein Zelt für das Zeltlager hat eine quadratische Grundfläche mit den Ecken \(A(2\,|\,0\,|\,0)\), \(B(2\,|\,2\,|\,0)\), \(C(0\,|\,2\,|\,0)\), \(D(0\,|\,0\,|\,0)\) und die Spitze \(S(1\,|\,1\,|\,1{,}5)\) (in Metern). Die vier Seitenkanten sind Stangen.
a) Wie hoch ist das Zelt?
b) Berechne \(\overrightarrow{AS}\) und die Länge einer Stange.
c) Wie viele Meter Stange werden insgesamt gebraucht?
d) In der Mitte der Stange \(AS\) wird eine Lampe befestigt. Gib ihre Position an.
Aufgabe 10 – Die Drohne über dem Schulhof
Eine Drohne startet im Punkt \(O(0\,|\,0\,|\,0)\) und fliegt geradlinig. In jeder Sekunde verschiebt sie sich um \(\vec v=\begin{pmatrix}2\\1\\1{,}5\end{pmatrix}\) (in Metern).
a) Gib die Position nach \(t\) Sekunden an.
b) Wo ist die Drohne nach 4 Sekunden?
c) Wie weit ist sie dann vom Start entfernt?
d) Wann erreicht sie die Höhe \(9\) m und wo ist sie dann?
e) Wie schnell fliegt die Drohne?
Aufgabe 11 – Zwei Flugbahnen
Zwei Flugzeuge fliegen geradlinig (Koordinaten in km, \(t\) in Minuten): \(F_1:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(F_2:\;\vec x=\begin{pmatrix}20\\0\\11\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\).
a) Wo sind beide Flugzeuge nach einer Minute?
b) Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
c) Schneiden sich die Flugbahnen? Untersuche die Lage der Geraden.
d) Wie groß ist der Abstand zur Zeit \(t=2{,}5\)? Ist die Situation gefährlich?
Aufgabe 12 – Das Satteldach
Ein Wohnhaus ist ein Quader mit \(0\le x_1\le10\), \(0\le x_2\le8\) und der Traufhöhe \(6\) m. Der First verläuft von \(F_1(0\,|\,4\,|\,9)\) nach \(F_2(10\,|\,4\,|\,9)\) (in Metern).
a) Gib die vier oberen Ecken des Quaders an.
b) Berechne die Länge der Dachschräge von \((0\,|\,0\,|\,6)\) bis \(F_1\).
c) Berechne die gesamte Dachfläche.
d) Für einen Quadratmeter braucht man \(15\) Dachziegel. Wie viele Ziegel werden benötigt?
Aufgabe 13 – Der Mast mit drei Seilen
Ein \(12\) m hoher Mast steht im Ursprung, seine Spitze ist \(S(0\,|\,0\,|\,12)\). Er wird mit drei Seilen gesichert, die in \(A(5\,|\,0\,|\,0)\), \(B(-3\,|\,4\,|\,0)\) und \(C(-3\,|\,-4\,|\,0)\) verankert sind.
a) Berechne \(\overrightarrow{AS}\), \(\overrightarrow{BS}\) und \(\overrightarrow{CS}\).
b) Berechne die Längen der drei Seile.
c) Wie viel Seil muss man kaufen, wenn für Knoten \(10\,\%\) zugeschlagen werden?
d) Erkläre, warum alle Seile gleich lang sind.
Aufgabe 14 – Zwei Wanderwege auf der Karte
Auf einer Wanderkarte (Einheit km) verlaufen zwei gerade Wege: \(g:\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\) und \(h:\;\vec x=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\).
a) Stelle das Gleichungssystem für den Schnittpunkt auf.
b) Löse es.
c) Gib den Kreuzungspunkt an.
d) Wie weit ist die Kreuzung vom Startpunkt \((1\,|\,2)\) entfernt?

Aufgabe 15 – Lagebeziehungen untersuchen

Gegeben ist \(g:\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\). Untersuche die Lage von \(g\) zu den folgenden Geraden.

Gerade	Stützvektor	Richtungsvektor
\(h\)	\(\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix}\)
\(k\)	\(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\)
\(m\)	\(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)

a) Lage von \(g\) und \(h\)
b) Lage von \(g\) und \(k\); bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt
c) Lage von \(g\) und \(m\)
d) Welche Lagebeziehung kann in der Ebene nicht vorkommen? Begründe.

Aufgabe 16 – Die Glaspyramide
Vor einem Einkaufszentrum in Leipzig steht eine Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche \(A(6|0|0)\), \(B(6|6|0)\), \(C(0|6|0)\), \(D(0|0|0)\) und Spitze \(S(3\,|\,3\,|\,4)\) (in Metern). Ein Quadratmeter Spezialglas kostet \(180\,€\).
a) Berechne die Länge einer Seitenkante.
b) \(M\) ist der Mittelpunkt von \(AB\). Berechne \(|\overrightarrow{MS}|\).
c) Begründe, dass MS die Höhe des Dreiecks ABS ist.
d) Berechne die gesamte Glasfläche der vier Seiten.
e) Was kostet das Glas?
Aufgabe 17 – Der Schatten des Fahnenmasts
Die Spitze eines Fahnenmasts auf dem Schulhof ist \(P(2\,|\,3\,|\,8)\), sein Fußpunkt \(F(2\,|\,3\,|\,0)\) (in Metern). Am Vormittag fallen die Sonnenstrahlen in Richtung \(\vec v=\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}\).
a) Stelle die Gerade durch \(P\) in Richtung \(\vec v\) auf.
b) Bestimme den Schattenpunkt auf dem Boden (\(x_3=0\)).
c) Wie lang ist der Schatten?
d) Am Nachmittag ist die Richtung \(\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\). Bestimme die neue Schattenlänge.
e) Begründe, warum der Schatten am Nachmittag länger ist.
Aufgabe 18 – Die Bergtour
Eine Wandergruppe aus dem Allgäu startet an der Talstation \(A(0\,|\,0\,|\,0{,}3)\) und geht zum Gipfel \(B(2{,}4\,|\,1{,}8\,|\,1{,}1)\) (in km, \(x_3\) ist die Höhe über dem Meer).
a) Berechne \(\overrightarrow{AB}\).
b) Wie lang ist die Luftlinie zwischen Talstation und Gipfel?
c) Wie groß ist die waagerechte Entfernung? Berechne die mittlere Steigung in Prozent.
d) Auf halbem Weg liegt eine Hütte. Gib ihre Koordinaten und ihre Höhe an.
Aufgabe 19 – Knobelaufgabe: Das Mittenviereck
Gegeben ist das (räumliche) Viereck \(A(0|0|0)\), \(B(4|0|2)\), \(C(6|4|0)\), \(D(0|2|4)\). Verbindet man die Seitenmitten, entsteht ein neues Viereck.
a) Bestimme die Mittelpunkte \(M_1\) bis \(M_4\) der Seiten \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).
b) Zeige, dass \(\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{M_4M_3}\) gilt.
c) Zeige allgemein: \(\overrightarrow{M_1M_2}=\frac12\overrightarrow{AC}\).
d) Was folgt daraus für das Mittenviereck?
Aufgabe 20 – Knobelaufgabe: Parameter bestimmen
Bestimme die fehlenden Zahlen.
a) Für welche \(a\) und \(b\) sind \(\begin{pmatrix}2\\a\\4\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}1\\3\\b\end{pmatrix}\) kollinear?
b) Für welche \(a\) hat \(\begin{pmatrix}a\\2\\2\end{pmatrix}\) die Länge \(3\)?
c) In welchem Punkt trifft \(g:\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\) die \(x_1x_2\)-Ebene?

So nutzt du das Arbeitsblatt Vektoren und Geometrie im Raum (Klasse 11) mit Lösungen

Lies zuerst den Lernzettel zu Vektoren und Geometrie im Raum, damit die Verfahren frisch sind. Danach löst du die Aufgaben der Reihe nach, denn sie werden nach und nach schwerer. Schreibe deinen Rechenweg auf und vergleiche ihn anschließend mit den Lösungen. Falls eine Aufgabe nicht klappt, schaust du dir das passende Beispiel noch einmal an. Schließlich probierst du die Klassenarbeit oder das Quiz.

Außerdem kannst du das Arbeitsblatt als PDF herunterladen und ausdrucken. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt bereitet dich dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Vektoren und Geometrie im Raum (Klasse 11) gut auf die Klassenarbeit vor.

Vektoren und Geometrie im Raum – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Aufgabe 1 – Verbindungsvektoren

Aufgabe 2 – Rechnen mit Vektoren

Aufgabe 3 – Längen von Vektoren

Aufgabe 4 – Abstand und Mittelpunkt

Aufgabe 5 – Kollinear oder nicht?

Aufgabe 6 – Die vierte Ecke des Parallelogramms

Aufgabe 7 – Geradengleichung und Punktprobe

Aufgabe 8 – Der Spielwürfel

Aufgabe 9 – Das Pyramidenzelt

Aufgabe 10 – Die Drohne über dem Schulhof

Aufgabe 11 – Zwei Flugbahnen

Aufgabe 12 – Das Satteldach

Aufgabe 13 – Der Mast mit drei Seilen

Aufgabe 14 – Zwei Wanderwege auf der Karte

Aufgabe 15 – Lagebeziehungen untersuchen

Aufgabe 16 – Die Glaspyramide

Aufgabe 17 – Der Schatten des Fahnenmasts

Aufgabe 18 – Die Bergtour

Aufgabe 19 – Knobelaufgabe: Das Mittenviereck

Aufgabe 20 – Knobelaufgabe: Parameter bestimmen

So nutzt du das Arbeitsblatt Vektoren und Geometrie im Raum (Klasse 11) mit Lösungen

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