Einführung in die Integralrechnung Klasse 11 Arbeitsblatt mit Lösungen zum Herunterladen als PDF

Dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Thema Einführung in die Integralrechnung (Klasse 11) enthält 20 Aufgaben, von einfachen Übungen bis zu Sachaufgaben. Die Lösungen stehen auf einer eigenen Seite, damit du zuerst selbst rechnest.

Aufgabe 1 – Stammfunktionen bestimmen
Gib jeweils eine Stammfunktion an. Mache bei a) und b) die Probe durch Ableiten.
a) \(f(x)=x^2\)
b) \(f(x)=4x^3\)
c) \(f(x)=6x\)
d) \(f(x)=5\)
e) \(f(x)=x^4-x^2\)
Aufgabe 2 – Summen integrieren
Bestimme die Stammfunktionen. Wende die Potenzregel auf jeden Summanden an. Brüche und Wurzeln schreibst du zuerst als Potenzen.
a) \(f(x)=3x^2-4x+5\)
b) \(g(x)=\frac12x^3+x\)
c) \(h(x)=\frac{1}{x^2}\)
d) \(k(x)=\sqrt{x}\)
Aufgabe 3 – Stammfunktion mit Bedingung
Bestimme die Stammfunktion \(F\) von \(f\), deren Graph durch den angegebenen Punkt geht.
a) \(f(x)=2x\), \(F(1)=3\)
b) \(f(x)=3x^2-2\), \(F(2)=5\)
c) \(f(x)=x+1\), \(F(0)=-4\)
Aufgabe 4 – Bestimmte Integrale
Berechne die Integrale und gib an, welche Stammfunktion du verwendest.
a) \(\int_0^2x^2\,\mathrm{d}x\)
b) \(\int_1^3(2x+1)\,\mathrm{d}x\)
c) \(\int_{-1}^1(x^2+1)\,\mathrm{d}x\)
d) \(\int_0^2(x^3-x)\,\mathrm{d}x\)
Aufgabe 5 – Untersumme und Obersumme
Die Fläche unter dem Graphen von \(f(x)=x^2\) über \([0;2]\) soll mit vier Rechtecken der Breite \(0{,}5\) abgeschätzt werden.
a) Berechne die Funktionswerte an den Stellen \(0\); \(0{,}5\); \(1\); \(1{,}5\); \(2\).
b) Berechne die Untersumme (Rechteckhöhen am linken Rand).
c) Berechne die Obersumme (Rechteckhöhen am rechten Rand).
d) Vergleiche mit dem exakten Wert \(\int_0^2x^2\,\mathrm{d}x\).
Aufgabe 6 – Fläche unter einer Parabel
Der Graph von \(f(x)=-x^2+4\) schließt mit der \(x\)-Achse eine Fläche ein.
a) Bestimme die Nullstellen.
b) Gib eine Stammfunktion an.
c) Berechne den Flächeninhalt.
d) Ein Fensterrahmen hat genau diese Form (Einheit \(1\) dm). Wie groß ist die Glasfläche in \(\mathrm{dm}^2\)?
Aufgabe 7 – Fläche mit Vorzeichenwechsel
Gegeben ist \(f(x)=x^2-4\). Berechne den Flächeninhalt zwischen Graph und \(x\)-Achse im Intervall \([0;3]\).
a) Bestimme die Nullstelle in \([0;3]\).
b) Berechne \(\int_0^2f(x)\,\mathrm{d}x\) und \(\int_2^3f(x)\,\mathrm{d}x\).
c) Gib den Flächeninhalt an.
d) Was ergäbe \(\int_0^3f(x)\,\mathrm{d}x\) und warum ist das kein Flächeninhalt?
Aufgabe 8 – Regenwasser im Fass
Während eines Regenschauers fließt Wasser vom Dach in eine Regentonne. Die Zuflussrate beträgt in den ersten \(10\) Minuten \(r(t)=0{,}5t\) Liter pro Minute. Die Tonne enthält anfangs \(30\) Liter.
a) Wie groß ist die Zuflussrate nach \(4\) Minuten und nach \(10\) Minuten?
b) Berechne die zugeflossene Wassermenge in den ersten \(10\) Minuten.
c) Wie viel Wasser ist danach in der Tonne?
d) Die Tonne fasst \(80\) Liter. Läuft sie nach \(10\) Minuten über?
Aufgabe 9 – Geschwindigkeit und Weg
Eine Straßenbahn fährt an der Haltestelle an. Ihre Geschwindigkeit beträgt in den ersten \(10\) Sekunden \(v(t)=0{,}6t^2\) m/s.
a) Welche Geschwindigkeit hat die Bahn nach \(5\) s und nach \(10\) s (in km/h)?
b) Berechne den Weg in den ersten \(10\) Sekunden.
c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitraum.
d) Warum ist die Durchschnittsgeschwindigkeit kleiner als die Endgeschwindigkeit?
Aufgabe 10 – Stromverbrauch einer Schule
Die elektrische Leistung der Schule über den Tag (in Kilowatt) wird durch \(P(t)=12t-t^2\) beschrieben, \(t\) in Stunden nach Unterrichtsbeginn (\(0\le t\le12\)).
a) Wann ist die Leistung am höchsten und wie hoch?
b) Berechne die verbrauchte Energie in Kilowattstunden (Integral der Leistung).
c) Berechne die durchschnittliche Leistung.
d) Die Kilowattstunde kostet \(0{,}30\,€\). Was kostet der Strom an diesem Tag?
Aufgabe 11 – Kostenfunktion aus Grenzkosten
Die Grenzkosten eines Bäckers sind \(K'(x)=0{,}1x+2\) (Euro je Brot), die Fixkosten betragen \(60\) Euro.
a) Bestimme die Kostenfunktion \(K\) mit \(K(0)=60\).
b) Berechne die Gesamtkosten für \(100\) Brote.
c) Berechne die zusätzlichen Kosten für die Brote Nr. \(101\) bis \(120\) mit einem Integral.
d) Wie hoch sind die durchschnittlichen Kosten je Brot bei \(100\) Broten?
Aufgabe 12 – Mittelwert einer Temperatur
Die Temperatur im Gewächshaus folgt zwischen 6 und 18 Uhr der Funktion \(T(t)=-\frac14t^2+6t-20\) (\(t\) Uhrzeit in Stunden).
a) Berechne \(\int_6^{18}T(t)\,\mathrm{d}t\).
b) Bestimme die Durchschnittstemperatur zwischen 6 und 18 Uhr.
c) Zu welchen Zeiten liegt die Temperatur über dem Mittelwert? Löse \(T(t)=\bar T\) näherungsweise.
Aufgabe 13 – Besucherstrom im Freibad
Die Ankunftsrate der Besucher im Freibad (Personen pro Stunde) ist an einem Sommertag \(a(t)=12t-t^2\) für \(0\le t\le12\) (\(t\) in Stunden nach Öffnung). Außerdem gibt die Tabelle die gemessene Rate in Abständen von zwei Stunden an.
Zeit \(t\) in h 0 2 4 6
Rate \(a(t)\) 0 20 32 36
a) Prüfe die Tabellenwerte durch Einsetzen.
b) Wie viele Besucher kommen insgesamt in den ersten \(6\) Stunden?
c) Wie viele kommen in den gesamten \(12\) Stunden?
d) Wann kommen die meisten Besucher pro Stunde? Wie viele Personen sind das?
Aufgabe 14 – Zu- und Abfluss eines Beckens
Ein Schwimmbecken wird gefüllt und gleichzeitig durch den Überlauf entleert. Der Zufluss beträgt \(z(t)=8-0{,}5t\) Kubikmeter pro Stunde, der Abfluss \(a(t)=2\) Kubikmeter pro Stunde (\(0\le t\le 8\)). Im Becken befinden sich anfangs \(40\) Kubikmeter.
a) Bestimme die Änderungsrate des Bestands \(f(t)=z(t)-a(t)\).
b) Berechne die Änderung des Wasservolumens in den ersten \(8\) Stunden.
c) Wie viel Wasser ist nach \(8\) Stunden im Becken?
d) Wann ist die Änderungsrate Null? Was bedeutet das für den Bestand?
Aufgabe 15 – Näherung mit der Trapezregel
Die Zuflussrate eines Regenrückhaltebeckens wurde alle \(2\) Minuten gemessen:
Zeit \(t\) in min 0 2 4 6 8
Zufluss in l/min 0 6 10 12 10
a) Schätze die zugeflossene Menge mit Rechtecken der Breite \(2\) (Mittelwert aus linkem und rechtem Rand je Intervall, also Trapeze).
b) Wie groß ist die geschätzte Gesamtmenge in Litern?
c) Schätze die mittlere Zuflussrate.
d) Wann war der Zufluss am stärksten?
Aufgabe 16 – Der Flussquerschnitt
Der Querschnitt eines Flusses wird durch die Tiefe \(d(x)=\frac{1}{5}x(10-x)\) Meter beschrieben (\(x\) Abstand vom linken Ufer, \(0\le x\le10\)). Die Fließgeschwindigkeit beträgt im Mittel \(0{,}8\) m/s.
a) Wie tief ist der Fluss in der Mitte?
b) Berechne die Querschnittsfläche \(A=\int_0^{10}d(x)\,\mathrm{d}x\).
c) Wie viele Kubikmeter Wasser fließen pro Sekunde durch den Querschnitt?
d) Wie viele Kubikmeter fließen pro Stunde?
Aufgabe 17 – Der Hauptsatz an einem Beispiel
Betrachte \(A(x)=\int_0^xt\,\mathrm{d}t\) als Funktion der oberen Grenze.
a) Berechne \(A(x)\) allgemein.
b) Berechne \(A(2)\) und \(A(4)\).
c) Leite \(A(x)\) ab. Was fällt auf?
Aufgabe 18 – Knobelaufgabe: Die obere Grenze gesucht
Bestimme die Zahl \(a>0\) so, dass das Integral den angegebenen Wert hat.
a) \(\int_0^a2x\,\mathrm{d}x=9\)
b) \(\int_0^ax^2\,\mathrm{d}x=9\)
c) \(\int_1^a(2x-1)\,\mathrm{d}x=6\)
Aufgabe 19 – Knobelaufgabe: Fläche zwischen zwei Graphen
Die Graphen von \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=2x\) schneiden sich bei \(x=0\) und \(x=2\). Zwischen den Schnittstellen liegt \(g\) oberhalb von \(f\).
a) Berechne die Flächen unter beiden Graphen über \([0;2]\).
b) Bestimme den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.
c) Zeige, dass dasselbe Ergebnis aus \(\int_0^2(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x\) folgt.
Aufgabe 20 – Knobelaufgabe: Archimedes
Archimedes zeigte, dass eine Parabelfläche genau \(\frac23\) des umschriebenen Rechtecks ausmacht. Prüfe das für \(f(x)=-x^2+4\) mit der Nullstellenbreite \(4\) und der Höhe \(4\).
a) Berechne den Flächeninhalt des umschriebenen Rechtecks.
b) Berechne den Parabelflächeninhalt aus der Aufgabe oben.
c) Bilde den Anteil und vergleiche mit \(\frac23\).

Zeit \(t\) in h	0	2	4	6
Rate \(a(t)\)	0	20	32	36

Zeit \(t\) in min	0	2	4	6	8
Zufluss in l/min	0	6	10	12	10

So nutzt du das Arbeitsblatt Einführung in die Integralrechnung (Klasse 11) mit Lösungen

Lies zuerst den Lernzettel zu Einführung in die Integralrechnung, damit die Verfahren frisch sind. Danach löst du die Aufgaben der Reihe nach, denn sie werden nach und nach schwerer. Schreibe deinen Rechenweg auf und vergleiche ihn anschließend mit den Lösungen. Falls eine Aufgabe nicht klappt, schaust du dir das passende Beispiel noch einmal an. Schließlich probierst du die Klassenarbeit oder das Quiz.

Außerdem kannst du das Arbeitsblatt als PDF herunterladen und ausdrucken. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt bereitet dich dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Einführung in die Integralrechnung (Klasse 11) gut auf die Klassenarbeit vor.

Einführung in die Integralrechnung – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Aufgabe 1 – Stammfunktionen bestimmen

Aufgabe 2 – Summen integrieren

Aufgabe 3 – Stammfunktion mit Bedingung

Aufgabe 4 – Bestimmte Integrale

Aufgabe 5 – Untersumme und Obersumme

Aufgabe 6 – Fläche unter einer Parabel

Aufgabe 7 – Fläche mit Vorzeichenwechsel

Aufgabe 8 – Regenwasser im Fass

Aufgabe 9 – Geschwindigkeit und Weg

Aufgabe 10 – Stromverbrauch einer Schule

Aufgabe 11 – Kostenfunktion aus Grenzkosten

Aufgabe 12 – Mittelwert einer Temperatur

Aufgabe 13 – Besucherstrom im Freibad

Aufgabe 14 – Zu- und Abfluss eines Beckens

Aufgabe 15 – Näherung mit der Trapezregel

Aufgabe 16 – Der Flussquerschnitt

Aufgabe 17 – Der Hauptsatz an einem Beispiel

Aufgabe 18 – Knobelaufgabe: Die obere Grenze gesucht

Aufgabe 19 – Knobelaufgabe: Fläche zwischen zwei Graphen

Aufgabe 20 – Knobelaufgabe: Archimedes

So nutzt du das Arbeitsblatt Einführung in die Integralrechnung (Klasse 11) mit Lösungen

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