Trigonometrische Funktionen Klasse 11 Arbeitsblatt mit Lösungen zum Herunterladen als PDF

Dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Thema Trigonometrische Funktionen (Klasse 11) enthält 20 Aufgaben, von einfachen Übungen bis zu Sachaufgaben. Die Lösungen stehen auf einer eigenen Seite, damit du zuerst selbst rechnest.

Aufgabe 1 – Grad- und Bogenmaß
Rechne die Winkel um. Gib exakte Werte als Vielfache von \(\pi\) an.
a) \(60^\circ\), \(135^\circ\), \(210^\circ\) ins Bogenmaß
b) \(\frac{2\pi}5\) und \(\frac{5\pi}4\) ins Gradmaß
c) Wie viel Grad entspricht \(1\) im Bogenmaß?
Aufgabe 2 – Werte am Einheitskreis
Bestimme die Werte exakt mit Hilfe des Einheitskreises und der Symmetrien. Begründe jeweils kurz.
a) \(\sin\frac{5\pi}6\)
b) \(\cos\frac{4\pi}3\)
c) \(\sin\frac{7\pi}4\)
d) \(\cos\pi\)
Aufgabe 3 – Eigenschaften ablesen
Gib für beide Funktionen Amplitude, Periode, Mittellinie und Wertebereich an.
a) \(f(x)=3\sin(2x)-1\)
b) \(g(x)=0{,}5\cos\left(\frac x2\right)+2\)
Aufgabe 4 – Ableitungen
Bilde die erste Ableitung. Gib die verwendeten Regeln an.
a) \(f(x)=4\sin x\)
b) \(g(x)=\cos(3x)\)
c) \(h(x)=x^2+2\cos x\)
d) \(k(x)=\sin(\pi x)\)
Aufgabe 5 – Trigonometrische Gleichungen
Löse die Gleichungen im Intervall \([0;2\pi]\).
a) \(\sin x=\frac{\sqrt3}2\)
b) \(\cos x=0\)
c) \(2\sin x+1=0\)
d) \(\sin x=0{,}3\) (Taschenrechner, auf drei Nachkommastellen)
Aufgabe 6 – Parameter aus dem Graphen
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f(x)=a\sin(bx)+d\).
a) Lies Hoch- und Tiefpunkt ab.
b) Bestimme Mittellinie und Amplitude.
c) Bestimme die Periode und den Parameter b.
d) Gib die Funktionsgleichung an und prüfe sie an einem Punkt.
Aufgabe 7 – Verschiebungen erkennen
Gegeben sind \(f(x)=\sin\left(x-\frac\pi4\right)\) und \(g(x)=\sin(2x-\pi)\).
a) Um wie viel ist der Graph von \(f\) gegenüber \(\sin x\) verschoben?
b) Schreibe \(g\) in der Form \(\sin\big(b(x-c)\big)\) und gib die Verschiebung an.
c) Bestimme die Nullstellen von \(g\) im Intervall \([0;\pi]\).
Aufgabe 8 – Tangenten an die Sinuskurve
Gegeben ist \(f(x)=\sin x\).
a) Bestimme die Tangente bei \(x_0=\pi\).
b) Bestimme die Tangente bei \(x_0=\frac\pi2\).
c) Unter welchem Winkel schneidet der Graph die x-Achse im Ursprung?
Aufgabe 9 – Gezeiten in Cuxhaven
Der Wasserstand am Pegel Cuxhaven wird durch \(h(t)=1{,}6\cos\left(\frac{2\pi}{12{,}4}t\right)+1{,}8\) beschrieben (\(t\) in Stunden nach dem Hochwasser um 0:00 Uhr, \(h\) in Metern).
a) Wie hoch steht das Wasser bei Hoch- und bei Niedrigwasser?
b) Wann ist das nächste Niedrigwasser?
c) Berechne den Wasserstand um 3:00 Uhr.
d) Wann erreicht der Wasserstand zum ersten Mal die Mittellinie?
Aufgabe 10 – Das Riesenrad auf dem Hamburger Dom
Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von \(50\) m, seine Achse liegt \(28\) m über dem Boden. Eine Umdrehung dauert \(10\) Minuten. Eine Gondel startet zur Zeit \(t=0\) am tiefsten Punkt. Ihre Höhe ist \(h(t)=28-25\cos\left(\frac{\pi}{5}t\right)\) (\(t\) in Minuten).
a) Wie hoch ist die Gondel höchstens, wie hoch mindestens?
b) Berechne die Höhe nach 2,5 Minuten.
c) Wann erreicht die Gondel zum ersten Mal \(40\) m Höhe?
d) Wie lange ist die Gondel pro Umdrehung höher als \(40\) m?
Aufgabe 11 – Die Tageslänge in Hamburg
Die Tageslänge in Hamburg (in Stunden) lässt sich näherungsweise durch \(L(t)=4{,}6\sin\left(\frac{2\pi}{365}(t-80)\right)+12{,}2\) beschreiben (\(t\): Tag des Jahres, \(t=1\) ist der 1. Januar).
a) Wie lang ist der längste und der kürzeste Tag?
b) An welchem Tag ist der Tag am längsten? Gib das Datum an.
c) Wie lang ist der Tag am Tag \(t=80\)? Welche Bedeutung hat dieser Tag?
d) Um wie viele Minuten wächst die Tageslänge um den Tag \(t=80\) pro Tag?
Aufgabe 12 – Wechselstrom aus der Steckdose
Die Netzspannung in Deutschland ist \(U(t)=325\sin(100\pi t)\) (\(U\) in Volt, \(t\) in Sekunden).
a) Gib die Scheitelspannung an.
b) Berechne Periode und Frequenz.
c) Berechne die Spannung zur Zeit \(t=0{,}0025\) s.
d) Wie schnell ändert sich die Spannung zur Zeit \(t=0\)?
Aufgabe 13 – Der Temperaturverlauf an einem Sommertag
An einem Sommertag in Freiburg wird die Temperatur durch \(T(t)=6\sin\left(\frac\pi{12}(t-9)\right)+14\) beschrieben (\(t\) in Stunden nach Mitternacht, \(T\) in °C).
a) Bestimme Höchst- und Tiefsttemperatur und die Uhrzeiten.
b) Berechne die Temperatur um 12 Uhr.
c) Wann steigt die Temperatur am schnellsten? Wie schnell?
Aufgabe 14 – Das Federpendel im Physikraum
Ein Gewicht an einer Feder schwingt nach \(s(t)=5\sin\left(\frac{2\pi}{0{,}8}t\right)\) (\(s\) in cm, \(t\) in s).
a) Gib Amplitude und Schwingungsdauer an.
b) Berechne die Geschwindigkeit \(v(t)=s'(t)\) und ihren Höchstwert.
c) Berechne die Auslenkung nach \(0{,}1\) s.
d) Wann ist das Gewicht zum ersten Mal am tiefsten Punkt?
Aufgabe 15 – Hafeneinfahrt bei Niedrigwasser
Im Hafen von Husum wurde der Wasserstand gemessen (\(t\) in Stunden nach Niedrigwasser). Ein Frachter benötigt mindestens \(3{,}25\) m Wassertiefe, um einzulaufen.
t in h 0 3,1 6,2 9,3 12,4
h in m 1,0 2,5 4,0 2,5 1,0
a) Bestimme Amplitude, Mittellinie und Periode.
b) Begründe, dass \(h(t)=-1{,}5\cos\left(\frac{2\pi}{12{,}4}t\right)+2{,}5\) die Messwerte beschreibt.
c) In welchem Zeitraum kann der Frachter einlaufen?
d) Wie lang ist dieses Zeitfenster?
e) Nenne zwei Gründe, warum das Modell in der Praxis nur näherungsweise gilt.
Aufgabe 16 – Das Windrad
Ein Windrad in Schleswig-Holstein hat eine Nabenhöhe von \(100\) m und Rotorblätter der Länge \(60\) m. Der Rotor dreht sich \(15\)-mal pro Minute. Die Höhe einer Blattspitze ist \(h(t)=100+60\sin\left(\frac\pi2t\right)\) (\(t\) in Sekunden).
a) Wie hoch kommt die Blattspitze höchstens, wie tief mindestens?
b) Begründe die Periode 4 s.
c) Wie schnell bewegt sich die Blattspitze auf ihrer Kreisbahn? Gib das Ergebnis auch in km/h an.
d) Wie lange ist die Spitze pro Umdrehung höher als \(130\) m?
e) Bestimme die größte senkrechte Geschwindigkeit der Spitze mit der Ableitung.
Aufgabe 17 – Puls und Blutdruck
Der Blutdruck einer Schülerin in Ruhe wird modellhaft durch \(p(t)=100+20\sin(2{,}5\pi t)\) beschrieben (\(p\) in mmHg, \(t\) in Sekunden).
a) Gib den oberen und den unteren Blutdruckwert an.
b) Berechne die Periode und die Zahl der Herzschläge pro Minute.
c) Berechne \(p(0{,}3)\).
d) Beim Laufen steigt der Puls auf \(90\) Schläge pro Minute. Wie ändert sich der Parameter \(b\)?
Aufgabe 18 – Funktionsgleichung aus einem Graphen
Die Abbildung zeigt eine Funktion der Form \(f(x)=a\sin\big(b(x-c)\big)+d\). Ein Hochpunkt liegt bei \((2{,}5\,|\,3{,}5)\), der folgende Tiefpunkt bei \((5{,}5\,|\,0{,}5)\).
a) Bestimme a, d und die Periode.
b) Bestimme \(b\) und eine passende Verschiebung \(c\).
c) Berechne \(f'(1)\).
d) Ist die Funktionsgleichung eindeutig? Begründe.
Aufgabe 19 – Knobelaufgabe: Der trigonometrische Pythagoras
Am Einheitskreis gilt für jeden Winkel \(x\) der Satz \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
a) Begründe den Satz mit dem Satz des Pythagoras.
b) Es gilt \(\sin x=0{,}6\) und \(\frac\pi2\le x\le\pi\). Bestimme \(\cos x\) und \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).
c) Bestimme \(x\) im Bogenmaß.
Aufgabe 20 – Knobelaufgabe: Sinus trifft Kosinus
Die Graphen von \(\sin x\) und \(\cos x\) schneiden sich im Intervall \([0;2\pi]\) zweimal.
a) Bestimme die Schnittstellen und die Schnittpunkte.
b) Berechne an der ersten Schnittstelle die Steigungen beider Graphen.
c) Stehen die Graphen dort senkrecht aufeinander?
d) Berechne den Schnittwinkel der beiden Tangenten.

t in h	0	3,1	6,2	9,3	12,4
h in m	1,0	2,5	4,0	2,5	1,0

So nutzt du das Arbeitsblatt Trigonometrische Funktionen (Klasse 11) mit Lösungen

Lies zuerst den Lernzettel zu Trigonometrische Funktionen, damit die Verfahren frisch sind. Danach löst du die Aufgaben der Reihe nach, denn sie werden nach und nach schwerer. Schreibe deinen Rechenweg auf und vergleiche ihn anschließend mit den Lösungen. Falls eine Aufgabe nicht klappt, schaust du dir das passende Beispiel noch einmal an. Schließlich probierst du die Klassenarbeit oder das Quiz.

Außerdem kannst du das Arbeitsblatt als PDF herunterladen und ausdrucken. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt bereitet dich dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Trigonometrische Funktionen (Klasse 11) gut auf die Klassenarbeit vor.

Trigonometrische Funktionen – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Aufgabe 1 – Grad- und Bogenmaß

Aufgabe 2 – Werte am Einheitskreis

Aufgabe 3 – Eigenschaften ablesen

Aufgabe 4 – Ableitungen

Aufgabe 5 – Trigonometrische Gleichungen

Aufgabe 6 – Parameter aus dem Graphen

Aufgabe 7 – Verschiebungen erkennen

Aufgabe 8 – Tangenten an die Sinuskurve

Aufgabe 9 – Gezeiten in Cuxhaven

Aufgabe 10 – Das Riesenrad auf dem Hamburger Dom

Aufgabe 11 – Die Tageslänge in Hamburg

Aufgabe 12 – Wechselstrom aus der Steckdose

Aufgabe 13 – Der Temperaturverlauf an einem Sommertag

Aufgabe 14 – Das Federpendel im Physikraum

Aufgabe 15 – Hafeneinfahrt bei Niedrigwasser

Aufgabe 16 – Das Windrad

Aufgabe 17 – Puls und Blutdruck

Aufgabe 18 – Funktionsgleichung aus einem Graphen

Aufgabe 19 – Knobelaufgabe: Der trigonometrische Pythagoras

Aufgabe 20 – Knobelaufgabe: Sinus trifft Kosinus

So nutzt du das Arbeitsblatt Trigonometrische Funktionen (Klasse 11) mit Lösungen

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