Exponentialfunktionen und Eulersche Zahl – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Gegeben ist \(f(x)=2^x\). Berechne ohne Taschenrechner, wo möglich, und runde sonst auf drei Nachkommastellen.

a) \(f(0)\) und \(f(3)\)
b) \(f(-2)\)
c) \(f(0{,}5)\)
d) Für welches \(x\) gilt \(f(x)=64\)?

Eine Bakterienkultur hat anfangs \(500\) Zellen und verdoppelt sich jede Stunde.

a) Gib die Funktion \(N(t)\) an.
b) Berechne die Zellzahl nach \(4\) Stunden.
c) Nach wie vielen Stunden sind es mehr als \(10\,000\) Zellen?
d) Wie viele Zellen waren es eine Stunde vor Beobachtungsbeginn?

Familie Weber legt \(1000\,€\) zu \(3\,\%\) Zinsen im Jahr an und lässt die Zinsen stehen.

a) Gib die Funktion \(K(n)\) an.
b) Berechne das Guthaben nach \(10\) Jahren.
c) Nach wie vielen Jahren hat sich das Guthaben verdoppelt?
d) Wie viel Euro Zinsen sind in den ersten \(10\) Jahren entstanden, und was hätte man ohne Zinseszins (einfache Zinsen) bekommen?

Löse ohne Taschenrechner, indem du beide Seiten als Potenz derselben Basis schreibst.

a) \(2^x=32\)
b) \(3^x=\frac19\)
c) \(4^x=8\)
d) \(5^{2x}=125\)

Die Abbildung zeigt die Graphen von \(f(x)=2^x\) und \(g(x)=0{,}5^x\).

a) Welche Punkte haben beide Graphen gemeinsam?
b) Wie hängen die beiden Graphen geometrisch zusammen?
c) Welche Gerade ist die waagerechte Asymptote? Was bedeutet das für den Wertebereich?
d) Berechne \(f(3)\cdot g(3)\) und erkläre das Ergebnis.

Ergänze die Tabelle und gib jeweils die Funktion an.

a) Bestimme die Wachstumsfaktoren.
b) Das Auto kostet neu \(24\,000\,€\). Gib seinen Wert nach \(n\) Jahren an.
c) Wie viel ist das Auto nach \(5\) Jahren noch wert?
d) Nach wie vielen Jahren ist der Wert auf die Hälfte gesunken?

Eine Tasse Kaffee enthält \(100\) mg Koffein. Die Halbwertszeit beträgt etwa \(5\) Stunden.

a) Gib die Funktion \(N(t)\) an (\(t\) in Stunden).
b) Wie viel Koffein ist nach \(10\) Stunden noch im Körper?
c) Wie viel nach \(12\) Stunden?
d) Nach wie vielen Stunden sind nur noch \(10\) mg übrig?

Das Profil eines Sportvereins hat \(800\) Follower und wächst jede Woche um \(12\,\%\).

a) Gib die Funktion an.
b) Wie viele Follower sind es nach \(6\) Wochen?
c) Nach wie vielen Wochen sind es mehr als \(5000\)?
d) Wie lange dauert es, bis sich die Zahl verdoppelt hat?

Die Fläche einer Seerosenpflanze verdoppelt sich jeden Tag. Nach \(30\) Tagen ist der Teich ganz bedeckt.

a) Wann war der Teich zur Hälfte bedeckt?
b) Wann war er zu einem Viertel bedeckt?
c) Wie viel Prozent des Teiches waren nach \(25\) Tagen bedeckt?
d) Warum ist das Wachstum gefährlich, obwohl man lange kaum etwas sieht?

Berechne die Terme \((1+\frac1n)^n\) für wachsende \(n\):

a) Prüfe zwei Werte der Tabelle mit dem Taschenrechner.
b) Was fällt auf?
c) Bestimme \(e\) auf drei Nachkommastellen mit \(n=10\,000\) und vergleiche mit dem genauen Wert \(2{,}71828\).

Bestimme die Ableitungen. Benutze \((e^{kx})'=k\,e^{kx}\).

a) \(f(x)=e^x+x\)
b) \(g(x)=3e^{2x}\)
c) \(h(x)=e^{-x}\)
d) \(k(x)=5e^{0{,}1x}-x^2\)

Löse die Gleichungen. Runde auf drei Nachkommastellen.

a) \(e^x=5\)
b) \(3e^x=12\)
c) \(e^{2x}=7\)
d) \(2e^{-x}=1\)

Ein Kapital von \(1000\,€\) wird (a) jährlich mit \(4\,\%\) verzinst, (b) stetig nach \(K(t)=1000\cdot e^{0{,}04t}\).

a) Berechne beide Guthaben nach \(10\) Jahren.
b) Um wie viel Euro unterscheiden sich die Werte?
c) Berechne den Faktor pro Jahr bei der stetigen Verzinsung und den effektiven Zinssatz.
d) Wann sind bei stetiger Verzinsung \(2000\,€\) erreicht?

Der Luftdruck nimmt mit der Höhe ab. Näherungsweise gilt \(p(h)=1013\cdot e^{-h/8000}\) (in Hektopascal, \(h\) in Metern).

a) Berechne den Druck auf der Zugspitze (\(2962\) m).
b) Berechne den Druck in \(8000\) m Höhe.
c) In welcher Höhe ist der Druck nur noch halb so groß wie am Boden?
d) Bestimme die Änderungsrate \(p'(h)\) und berechne sie am Boden.

Eine Firma vergleicht drei Prognosen für die Zahl der Kunden.

a) Prüfe zwei Tabellenwerte durch Einsetzen.
b) Welche Prognose liefert zu Beginn den größten Wert, welche am Ende?
c) Ab welchem \(t\) übersteigt die exponentielle Prognose die lineare?
d) Beschreibe den Unterschied der Wachstumsarten in je einem Satz.

Die Temperatur eines Kaffees folgt dem Gesetz \(T(t)=20+60\cdot e^{-0{,}1t}\) (\(t\) in Minuten, \(T\) in °C). Die Raumtemperatur beträgt \(20\) °C.

a) Welche Temperatur hat der Kaffee zu Beginn?
b) Wie warm ist er nach \(10\) Minuten?
c) Wann ist er auf \(30\) °C abgekühlt?
d) Bestimme \(T'(t)\) und deute den Wert \(T'(0)\).

Ein Video hat am Starttag \(50\) Aufrufe. Die Zahl der Aufrufe verdoppelt sich alle zwei Tage.

a) Gib die Funktion \(A(t)\) an (\(t\) in Tagen).
b) Wie viele Aufrufe gibt es nach \(10\) Tagen?
c) Nach wie vielen Tagen sind es mehr als \(100\,000\)?
d) Wie realistisch ist das Modell? Begründe in einem Satz.

Eine Bank bietet zwei Anlagen mit \(5000\,€\) an: A mit \(2{,}5\,\%\) Zinsen jährlich, B mit \(0{,}2\,\%\) Zinsen pro Monat.

a) Berechne den Endbetrag von A nach \(10\) Jahren.
b) Berechne den Endbetrag von B nach \(10\) Jahren (\(120\) Monate).
c) Welche Anlage ist besser und um wie viel?
d) Wie hoch müsste der Monatszins sein, damit B gleichwertig zu A ist?

Der Graph einer Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\) geht durch \(P(0\,|\,3)\) und \(Q(2\,|\,12)\).

a) Bestimme \(a\).
b) Bestimme \(b\) (mit \(b>0\)).
c) Berechne \(f(5)\).
d) Wie lautet die Funktion, wenn der Graph stattdessen durch \(P(0\,|\,3)\) und \(Q(2\,|\,\frac{4}{3})\) geht?

Für \(f(x)=a^x\) gilt \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=a^x\cdot\frac{a^h-1}{h}\). Die Ableitung ist also \(a^x\) mal der Zahl \(c(a)=\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}\).

a) Berechne \(\frac{2^h-1}{h}\) für \(h=0{,}01\).
b) Berechne \(\frac{3^h-1}{h}\) für \(h=0{,}01\).
c) Berechne \(\frac{e^h-1}{h}\) für \(h=0{,}01\).
d) Was zeichnet die Basis \(e\) aus?