Trigonometrische Funktionen – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (3 BE/Punkte)

   a) Ein voller Kreis hat \(360^\circ\) bzw. \(2\pi\), also entspricht \(180^\circ\) genau \(\pi\). Gradmaß ins Bogenmaß: \(150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{150}{180}\pi=\frac{5\pi}{6}\) (1 P.). Bogenmaß ins Gradmaß: \(\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3\cdot180^\circ}{2}=270^\circ\) (1 P.).
   b) \(\frac{5\pi}{6}=150^\circ\) liegt im zweiten Quadranten, dort ist der Sinus positiv. Der Einheitskreispunkt ist das Spiegelbild des Punktes zu \(30^\circ\) an der \(y\)-Achse und hat dieselbe \(y\)-Koordinate. Daher \(\sin\frac{5\pi}{6}=\sin(\pi-\frac\pi6)=\sin\frac\pi6=\frac12\) (1 P.). Der Kosinus wechselt dabei das Vorzeichen: \(\cos\frac{5\pi}6=-\frac{\sqrt3}{2}\). Antwort: \(\frac{5\pi}6\); \(270^\circ\); \(\sin\frac{5\pi}6=\frac12\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   Man vergleicht \(f(x)=2\sin(3x)+1\) mit der allgemeinen Form \(a\sin(bx)+d\): \(a=2\), \(b=3\), \(d=1\).
   Amplitude: \(|a|=2\). Der Graph ist gegenüber \(\sin x\) in \(y\)-Richtung um den Faktor \(2\) gestreckt (1 P.).
   Periode: \(p=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{3}\approx2{,}09\). Der Graph ist in \(x\)-Richtung gestaucht, in einer Periode von \(\sin x\) passen drei Schwingungen (1 P.).
   Mittellinie: \(y=d=1\); um diese Gerade schwingt der Graph (1 P.).
   Wertebereich: von \(d-|a|=1-2=-1\) bis \(d+|a|=1+2=3\), also \(W=[-1;3]\) (1 P.). Kontrolle: Das Maximum \(3\) wird bei \(3x=\frac\pi2\), also \(x=\frac\pi6\) erreicht, denn \(2\cdot1+1=3\). Antwort: Amplitude \(2\), Periode \(\frac{2\pi}3\), Mittellinie \(y=1\), \(W=[-1;3]\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Zuerst nach dem Kosinus auflösen: \(\cos x=\frac12\) (1 P.). Der Grundwert aus dem Taschenrechner oder dem Einheitskreis ist \(x_1=\frac\pi3\) (\(60^\circ\)) (1 P.). Der Kosinus ist die \(x\)-Koordinate am Einheitskreis; den gleichen Wert hat der an der \(x\)-Achse gespiegelte Punkt, also \(x_2=2\pi-\frac\pi3=\frac{5\pi}3\) (1 P.). Beide liegen in \([0;2\pi]\). Probe: \(2\cos300^\circ=2\cdot0{,}5=1\).
   b) \(\sin x=-1\) bedeutet \(y\)-Koordinate \(-1\); das ist nur der tiefste Punkt \((0|-1)\) des Einheitskreises, bei \(270^\circ\). Also gibt es genau eine Lösung \(x=\frac{3\pi}2\) (1 P.). Im Graphen der Sinusfunktion ist das das einzige Minimum im Intervall. Antwort: a) \(\{\frac\pi3;\frac{5\pi}3\}\); b) \(\{\frac{3\pi}2\}\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Ableitungsregeln: \((\sin x)'=\cos x\) und \((\cos x)'=-\sin x\). Mit der Faktorregel: \((3\sin x)'=3\cos x\). Für \(\cos(2x)\) braucht man die Kettenregel: äußere Ableitung \(-\sin(2x)\), innere Ableitung \(2\), zusammen \(-2\sin(2x)\) (1 P.). Also \(f'(x)=3\cos x-2\sin(2x)\). An der Stelle \(0\): \(f'(0)=3\cdot1-2\cdot0=3\) (1 P.).
   b) Berührpunkt: \(f(0)=3\sin0+\cos0=0+1=1\), also \(P(0|1)\) (1 P.). Tangente mit Steigung \(3\): \(t(x)=3(x-0)+1=3x+1\) (1 P.). Kontrolle: Für kleine \(x\) gilt \(\sin x\approx x\) und \(\cos(2x)\approx1\), daher \(f(x)\approx3x+1\), genau die Tangente. Häufiger Fehler: Die innere Ableitung \(2\) vergessen. Antwort: \(f'(0)=3\), Tangente \(y=3x+1\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (5 BE/Punkte)

   a) Die Mittellinie liegt zwischen Hoch- und Niedrigwasser: \(d=\frac{4{,}2+0{,}6}{2}=2{,}4\) m. Die Amplitude ist der halbe Tidenhub: \(a=\frac{4{,}2-0{,}6}{2}=1{,}8\) m. Von Hoch- bis Niedrigwasser vergeht eine halbe Periode, also \(T=2\cdot6{,}2=12{,}4\) h und \(b=\frac{2\pi}{12{,}4}\). Der Kosinus hat bei \(t=0\) sein Maximum, passend zum Hochwasser um 0:00 Uhr (2 P.).
   b) \(h(3)=1{,}8\cos(\frac{6\pi}{12{,}4})+2{,}4\approx1{,}8\cdot0{,}051+2{,}4\approx2{,}49\) m (1 P.). Der Rechner muss im Bogenmaß stehen.
   c) \(h(t)\ge3\) führt auf \(\cos(\frac{2\pi}{12{,}4}t)\ge\frac13\). Mit \(\arccos\frac13\approx1{,}231\) folgt \(t\le\frac{1{,}231\cdot12{,}4}{2\pi}\approx2{,}43\) h; wegen der Symmetrie gilt dasselbe vor dem nächsten Hochwasser ab \(12{,}4-2{,}43\approx9{,}97\) h. Zusammen etwa \(2\cdot2{,}43\approx4{,}86\) h pro Periode (2 P.).

Gesamt : 20 Punkte