Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

In einer Urne liegen 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für „rot, rot“.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für „zwei verschiedene Farben“.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für „zwei blaue Kugeln“.
d) Prüfe, dass die Wahrscheinlichkeiten aller vier Pfade zusammen \(1\) ergeben.

Ein Beutel enthält 4 rote und 6 grüne Gummibärchen. Du ziehst zwei nacheinander.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige zu ziehen, wenn du das erste zurücklegst?
b) Wie groß ist sie, wenn du nicht zurücklegst?
c) Warum ist sie im zweiten Fall kleiner oder größer?

Berechne \(P_B(A)\) und \(P_A(B)\) für die folgenden Angaben.

a) \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(A\cap B)=0{,}2\)
b) \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}6\), \(P(A\cap B)=0{,}12\)
c) \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}1\)

Zu einer Befragung von 200 Schülerinnen und Schülern einer Schule liegen folgende Angaben vor: \(110\) haben ein Haustier, \(90\) nicht. Von den Mädchen haben \(28\) kein Haustier, insgesamt sind \(120\) Befragte Mädchen.

a) Ergänze die Vierfeldertafel.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Befragter ein Mädchen mit Haustier ist?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Haustier unter der Bedingung „Mädchen“?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Mädchen“ unter der Bedingung „Haustier“?

Für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) gelten \(P(A\cap B)=0{,}12\), \(P(A)=0{,}30\) und \(P(B)=0{,}40\).

a) Ergänze die Tafel.
b) Berechne \(P_A(B)\) und \(P_B(A)\).
c) Prüfe, ob \(A\) und \(B\) unabhängig sind.
d) Berechne \(P(A\cup B)\).

Prüfe jeweils, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

a) \(P(A)=0{,}2\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}1\)
b) \(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}35\)
c) \(P(A)=\frac13\), \(P(B)=\frac14\), \(P(A\cap B)=\frac1{12}\)
d) Beim Würfeln: \(A\): „gerade Zahl“, \(B\): „Zahl größer als 4“

Eine Schule hat \(400\) Schüler. \(40\,\%\) kommen mit dem Bus, \(35\,\%\) mit dem Rad, \(25\,\%\) gehen zu Fuß. Mit dem Bus kommen \(10\,\%\) zu spät, mit dem Rad \(5\,\%\), zu Fuß \(2\,\%\).

a) Zeichne die Pfade und berechne die Wahrscheinlichkeit „Bus und zu spät“.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler zu spät kommt?
c) Ein Schüler kam zu spät. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kam er mit dem Rad?
d) Wie viele der \(400\) Schüler sind erwartungsgemäß zu spät?

Eine seltene Erkrankung betrifft \(2\,\%\) einer Bevölkerung. Ein Test erkennt Kranke mit \(95\,\%\) Sicherheit als positiv, zeigt aber auch bei \(4\,\%\) der Gesunden fälschlich positiv an.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig getesteter Mensch positiv getestet wird.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv Getesteter wirklich krank ist.
c) Wie viele von \(10\,000\) Getesteten sind „positiv“, und wie viele davon sind wirklich krank?
d) Erkläre, warum das Ergebnis überrascht.

\(30\,\%\) aller E-Mails sind Spam. Der Filter markiert \(98\,\%\) der Spam-Mails und fälschlich \(1\,\%\) der normalen Mails.

a) Zeichne ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mail markiert wird.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine markierte Mail wirklich Spam ist?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht markierte Mail Spam ist?
d) Von \(1000\) Mails: Wie viele normale Mails landen erwartungsgemäß im Spam-Ordner?

In einem Werk stellt Maschine 1 genau \(60\,\%\) der Bauteile her, Maschine 2 die übrigen \(40\,\%\). Maschine 1 liefert \(3\,\%\) Ausschuss, Maschine 2 liefert \(5\,\%\) Ausschuss.

a) Wie groß ist der Anteil des Ausschusses insgesamt?
b) Ein Bauteil ist Ausschuss. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es von Maschine 2?
c) Ein Bauteil ist kein Ausschuss. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es von Maschine 1?
d) Der Betrieb beschließt, Maschine 2 stillzulegen. Wie ändert sich der Ausschuss?

Die Wahrscheinlichkeit für einen Regentag beträgt \(30\,\%\). Regnet es heute, regnet es morgen mit \(60\,\%\). Regnet es heute nicht, regnet es morgen mit \(20\,\%\).

a) Zeichne ein Baumdiagramm.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet?
c) Es regnet morgen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch heute geregnet?
d) Sind „heute Regen“ und „morgen Regen“ unabhängig? Begründe.

Zwei faire Würfel werden geworfen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Augensumme mindestens 10“ unter der Bedingung „erster Würfel zeigt 5“?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „erster Würfel gerade“ unter der Bedingung „Augensumme 8“?
c) Ist „Augensumme 7“ unabhängig vom Ergebnis des ersten Würfels?

In einer Umfrage unter \(500\) Jugendlichen wurde nach dem Alter und der Nutzung sozialer Medien gefragt.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Befragter unter 16 ist und soziale Medien nutzt.
b) Wie groß ist der Anteil der Nutzer bei den unter 16-Jährigen, wie groß bei den älteren?
c) Sind Alter und Nutzung unabhängig? Begründe mit Zahlen.
d) Wie müsste die Zahl der Nutzer unter den Älteren aussehen, damit die Merkmale unabhängig wären (Randsummen unverändert)?

Ein Skatblatt hat \(32\) Karten, darunter \(4\) Asse. Du ziehst zwei Karten ohne Zurücklegen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Asse?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau ein Ass?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Ass?
d) Die erste Karte war ein Ass. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite auch ein Ass ist?

Bei der Sicherheitskontrolle am Flughafen schlägt ein Scanner an. Von \(1000\) Reisenden führt im Mittel \(1\) einen verbotenen Gegenstand mit. Der Scanner schlägt bei Reisenden mit verbotenem Gegenstand zu \(99\,\%\) an, bei allen anderen zu \(5\,\%\).

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Scanner anschlägt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Reisender, bei dem der Scanner anschlägt, tatsächlich einen verbotenen Gegenstand dabei hat?
c) Wie viele von \(100\,000\) Reisenden lösen einen Fehlalarm aus?
d) Wie müsste die Fehlalarmquote sein, damit mehr als die Hälfte der Alarme berechtigt wäre?

In einer Kiste liegen \(12\) Lose, davon \(3\) Gewinne. Drei Kinder ziehen nacheinander je ein Los, ohne es zurückzulegen. Das Ergebnis wird erst am Ende bekannt gegeben.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Kind gewinnt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind gewinnt? Berechne sie mit der Summenregel.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kind gewinnt?
d) Sind „erstes Kind gewinnt“ und „zweites Kind gewinnt“ unabhängig?

In einer Befragung von \(300\) Kindern im Alter von 12 Jahren gaben \(180\) an, Sport im Verein zu treiben.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind im Verein ist.
b) Berechne diese Wahrscheinlichkeit getrennt für Jungen und für Mädchen.
c) Beurteile, ob das Geschlecht und die Vereinszugehörigkeit unabhängig sind.
d) Welche Zahl müsste in der Zelle „Jungen im Verein“ stehen, damit Unabhängigkeit gilt (alle Randsummen gleich)?

Für zwei Ereignisse gilt \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\).

a) Welchen Wert muss \(P(A\cap B)\) haben, damit \(A\) und \(B\) unabhängig sind? Berechne dann \(P(A\cup B)\).
b) Es sei \(P(A\cap B)=0{,}1\). Berechne \(P_B(A)\) und beurteile die Abhängigkeit.
c) Zwischen welchen Werten kann \(P(A\cap B)\) höchstens liegen?
d) Welcher Wert für \(P(A\cap B)\) entspricht „\(A\) und \(B\) schließen sich aus“?

Zeige, dass die Bedingungen \(P_B(A)=P(A)\) und \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) gleichwertig sind, und dass dann auch \(P_A(B)=P(B)\) gilt.

a) Forme \(P_B(A)=P(A)\) mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit um.
b) Folgere \(P_A(B)=P(B)\).
c) Prüfe das an den Zahlen \(P(A)=0{,}2\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}1\).

Drei Kinder haben jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit an einem der sieben Wochentage Geburtstag, unabhängig voneinander.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei an verschiedenen Wochentagen Geburtstag haben?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei am gleichen Wochentag Geburtstag haben?
c) Bei wie vielen Kindern ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei am gleichen Wochentag erstmals größer als \(50\,\%\)?