Determinantes – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: ejercicios para descargar en PDF

El determinante de orden 2 es \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\). El de orden 3 se calcula con la regla de Sarrus: tres productos en la dirección de la diagonal principal menos tres en la dirección de la secundaria.

1. Calcula \(\begin{vmatrix}3&-2\\5&4\end{vmatrix}\).
2. Calcula \(\begin{vmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&-2\end{vmatrix}\) por Sarrus.
3. Calcula \(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\) y explica qué significa el resultado para sus filas.

Sean \(A\) y \(B\) matrices cuadradas de orden 3 con \(|A|=3\) y \(|B|=-2\). Recuerda que \(|A^t|=|A|\), \(|AB|=|A||B|\), \(|kA|=k^n|A|\) para matrices de orden \(n\) y \(|A^{-1}|=1/|A|\).

1. Calcula \(|AB|\) y \(|BA|\).
2. Calcula \(|2A|\) y \(|A^t|\).
3. Calcula \(|A^{-1}|\) y \(|A^2B^{-1}|\).
4. Calcula \(|A+B|\) si es posible. Razona la respuesta.

El determinante se puede desarrollar por una fila o columna: \(|A|=\sum_j a_{ij}A_{ij}\), con \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\). Conviene elegir la línea con más ceros. Sea \(D=\begin{vmatrix}1&2&1&0\\2&1&0&3\\0&1&1&1\\1&0&2&1\end{vmatrix}\).

1. Haz ceros en la primera columna con operaciones entre filas.
2. Desarrolla por esa columna y calcula el determinante de orden 3 resultante.
3. Comprueba el resultado desarrollando el determinante original por la cuarta columna.

Se considera \(V=\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{vmatrix}\).

1. Resta la primera columna a las otras dos y desarrolla por la primera fila.
2. Factoriza el resultado y demuestra que \(V=(b-a)(c-a)(c-b)\).
3. Calcula \(V\) para \(a=1\), \(b=2\), \(c=4\).
4. ¿Para qué valores de \(a,b,c\) es \(V=0\)?

El rango es el orden del mayor menor no nulo. Se parte de un menor de orden 2 distinto de cero y se orla con filas y columnas. Sea \(A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&5&1\\3&5&8&5\end{pmatrix}\).

1. Halla un menor de orden 2 no nulo.
2. Calcula los menores de orden 3 que contienen a ese menor.
3. Deduce el rango de \(A\) y explica la relación entre sus filas.

Si \(|A|\neq0\), entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}(\operatorname{Adj}A)^t\). Sea \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\2&0&1\end{pmatrix}\).

1. Calcula \(|A|\).
2. Calcula la matriz de adjuntos \(\operatorname{Adj}A\).
3. Escribe \(A^{-1}\).
4. Comprueba que \(AA^{-1}=I\).

Resuelve la ecuación \(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=0\).

1. Desarrolla el determinante por Sarrus.
2. Factoriza el polinomio obtenido.
3. Indica las soluciones y comprueba una de ellas.

El volumen de un tetraedro de vértices \(A,B,C,D\) es \(V=\tfrac16\left|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\right|\). Una pieza decorativa de cristal tiene forma de tetraedro con vértices \(A(0,0,0)\), \(B(2,0,0)\), \(C(0,3,0)\) y \(D(0,0,6)\) (medidas en decímetros).

1. Calcula los vectores \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\).
2. Calcula el determinante que forman.
3. Halla el volumen en dm\(^3\) y en litros.
4. Comprueba el resultado con la fórmula (área de la base por altura) entre 3.

Una parcela de un pueblo de Navarra tiene forma de triángulo con vértices \(A(0,0)\), \(B(80,10)\) y \(C(100,70)\), en metros. El área de un triángulo de vértices \((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\) es \(\tfrac12\) el valor absoluto de \(\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}\).

1. Escribe el determinante con las coordenadas.
2. Calcula el área de la parcela.
3. El metro cuadrado se valora a 12 €. ¿Cuánto vale la parcela?
4. ¿Cuánto mide el perímetro? (Redondea a metros.)

Un tostador de café de Vigo prepara tres mezclas A, B y C con tres orígenes: Colombia, Brasil y Etiopía. La tabla da los kilos de cada origen que lleva un saco de cada mezcla. Si se compran \(a\), \(b\) y \(c\) sacos de A, B y C, los kilos de cada origen son el producto de la matriz \(M\) por \((a,b,c)^t\).

1. Escribe la matriz \(M\) y calcula su determinante.
2. Interpreta que el determinante sea distinto de cero.
3. Calcula \(M^{-1}\) por adjuntos.
4. Un cliente necesita exactamente 13 kg de Colombia, 8 kg de Brasil y 13 kg de Etiopía. ¿Cuántos sacos de cada mezcla debe preparar?

Se considera la matriz \(A_a=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&a\\a&0&1\end{pmatrix}\).

1. Calcula \(|A_a|\).
2. ¿Para qué valores reales de \(a\) es invertible \(A_a\)?
3. Calcula la inversa para \(a=2\).
4. Comprueba el resultado.

En una frutería de Murcia, una clienta paga 6,70 € por 2 kg de manzanas, 1 kg de peras y 1 kg de uvas. Otro cliente paga 11,60 € por 1 kg de manzanas, 3 kg de peras y 2 kg de uvas. Un tercero paga 8 € por 1 kg de manzanas, 1 kg de peras y 2 kg de uvas. Los precios por kilo son \(x\) (manzanas), \(y\) (peras) y \(z\) (uvas).

1. Escribe el sistema y su matriz de coeficientes.
2. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.
3. Aplica la regla de Cramer para hallar \(x\), \(y\) y \(z\).
4. Calcula cuánto cuesta 1 kg de cada fruta y cuánto pagaría quien lleve 3 kg de manzanas y 2 kg de uvas.

Estudia el rango de \(A=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&4&b\\1&3&1\end{pmatrix}\) según los valores de \(a\) y \(b\).

1. Calcula el determinante de \(A\).
2. ¿Cuál es el rango si \(b\neq2a\)?
3. ¿Y si \(b=2a\)? Justifica con un menor de orden 2.
4. Da un ejemplo numérico de cada caso.

Sea \(A\) una matriz de orden 3 cuyas filas son \(F_1,F_2,F_3\) y cuyo determinante es \(|A|=5\). Calcula, usando solo las propiedades, el determinante de cada matriz.

1. La matriz de filas \(F_1,\ F_2+F_3,\ F_3\).
2. La matriz de filas \(2F_1,\ F_2,\ -F_3\).
3. La matriz de filas \(F_2,\ F_1,\ F_3\).
4. Las matrices \(3A\), \(A^{-1}\), \(A^tA\) y \(\operatorname{Adj}A\).

Cuatro puntos son coplanarios si los vectores \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) son linealmente dependientes, es decir, si su determinante es cero. Se tienen \(A(1,0,1)\), \(B(2,1,0)\), \(C(0,2,3)\) y \(D(k,1,1)\), que representan los puntos de anclaje de una estructura.

1. Calcula los tres vectores.
2. Plantea el determinante que forman.
3. Halla \(k\) para que los cuatro puntos estén en un mismo plano.
4. Calcula el volumen del tetraedro cuando \(k=2\).

Una promotora de Valladolid dispone de un solar de forma cuadrilátera con vértices \(A(0,0)\), \(B(60,0)\), \(C(80,50)\) y \(D(10,40)\), medidos en metros. Quiere venderlo a 85 € el metro cuadrado y cercarlo con una valla de 18 € el metro.

1. Divide el cuadrilátero en los triángulos \(ABC\) y \(ACD\) y escribe los dos determinantes de área.
2. Calcula el área de cada triángulo y la del solar.
3. Calcula el precio de venta del solar.
4. Calcula la longitud de los cuatro lados y el coste de la valla (redondea a metros).
5. ¿Qué porcentaje del precio de venta supone el coste de la valla?

Sea \(A\) una matriz cuadrada de orden \(n\) con \(|A|\neq0\). Se cumple \(A\cdot(\operatorname{Adj}A)^t=|A|\,I\).

1. Toma determinantes en la igualdad y demuestra que \(|\operatorname{Adj}A|=|A|^{n-1}\).
2. Comprueba la fórmula con la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\2&0&1\end{pmatrix}\), que tiene \(|A|=5\).
3. Deduce el valor de \(|A^{-1}|\) a partir de \(A\cdot A^{-1}=I\).

Una matriz es antisimétrica si \(A^t=-A\).

1. Demuestra que el determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es cero.
2. Comprueba el resultado con \(A=\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&3\\1&-3&0\end{pmatrix}\).
3. ¿Qué ocurre en orden 2? Calcula el determinante de \(\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}\).

En una regata frente a la costa de Cantabria se colocan tres boyas en los puntos \(A(1,2)\), \(B(3,k)\) y \(C(5,8)\) del plano de la bahía (en kilómetros). Tres puntos están alineados si el determinante \(\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}\) vale cero.

1. Escribe el determinante.
2. Calcula \(k\) para que las tres boyas estén alineadas.
3. Halla la ecuación de la recta que forman y comprueba que pasa por \(B\).
4. Calcula la distancia entre las boyas \(A\) y \(C\).

Un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial \((0,0,0)\). Tiene otras soluciones solo si el determinante de su matriz de coeficientes es cero. Se considera \(\begin{cases}ax+y+z=0\\ x+ay+z=0\\ x+y+az=0\end{cases}\).

1. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.
2. ¿Para qué valores de \(a\) hay soluciones no triviales?
3. Resuelve el sistema para \(a=-2\).
4. Resuelve el sistema para \(a=1\) y describe geométricamente el conjunto de soluciones.