Matrices – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: ejercicios para descargar en PDF

Una matriz de dimensión \(m\times n\) tiene \(m\) filas y \(n\) columnas, y \(a_{ij}\) es el elemento de la fila \(i\) y la columna \(j\). Considera \(A=\begin{pmatrix}2&-1&0&4\\3&5&1&-2\end{pmatrix}\) y \(B=(a_{ij})\) de dimensión \(3\times3\) con \(a_{ij}=i-2j\).

1. Indica la dimensión de \(A\) y los elementos \(a_{13}\) y \(a_{24}\).
2. Escribe la traspuesta \(A^t\) y su dimensión.
3. Escribe la matriz \(B\) completa.
4. Indica de qué tipo es cada matriz: ¿cuadrada?, ¿simétrica?, ¿triangular?

Se dan las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}\).

1. Calcula \(A+B\) y \(A-B\).
2. Calcula \(3A-2B\).
3. Halla la matriz \(X\) que cumple \(2X+A=B\).
4. ¿Se puede sumar \(A\) con una matriz de dimensión \(2\times3\)? Razona la respuesta.

Dadas \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&-1&2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\\-1&1\end{pmatrix}\):

1. Escribe la dimensión de \(AB\) y de \(BA\) antes de calcular nada.
2. Calcula \(AB\).
3. Calcula \(BA\).
4. ¿Son iguales \(AB\) y \(BA\)? ¿Qué propiedad ilustra el resultado?

Sean \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\).

1. Calcula \((AB)^t\).
2. Calcula \(B^tA^t\) y compáralo con el apartado anterior.
3. Calcula \(A^tB^t\). ¿Coincide con \((AB)^t\)?
4. Calcula \(A+A^t\) y \(A-A^t\) e indica cuál es simétrica y cuál antisimétrica.

Para calcular una potencia grande se calculan las primeras potencias, se detecta la pauta y se generaliza.

1. Calcula \(A^2\), \(A^3\) y deduce \(A^n\) para \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\).
2. Calcula \(B^n\) para la matriz diagonal \(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\).
3. Calcula \(C^2\), \(C^3\), \(C^4\) para \(C=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) y halla \(C^{2026}\).

El rango de una matriz es el número de filas no nulas de una matriz escalonada equivalente. Se obtiene con operaciones elementales entre filas.

1. Halla el rango de \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}\).
2. Halla el rango de \(B=\begin{pmatrix}1&-1&2&0\\2&1&0&3\\3&0&2&3\end{pmatrix}\).
3. ¿Cuál es el rango máximo posible de una matriz \(3\times4\)? ¿Lo alcanza \(B\)?

Una matriz cuadrada \(A\) es invertible si existe \(A^{-1}\) con \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\). Se calcula con \((A|I)\to(I|A^{-1})\).

1. Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\) y comprueba que \(AA^{-1}=I\).
2. Calcula la inversa de \(B=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\).
3. Demuestra que \(C=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}\) no es invertible.

Para despejar una matriz se multiplica por la inversa, siempre por el mismo lado en los dos miembros.

1. Despeja \(X\) en \(AX+B=C\).
2. Resuélvela con \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\), \(B=I\) y \(C=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}\).
3. Despeja \(X\) en \(XA=B\) y explica por qué no se puede escribir \(X=B/A\).

Una cadena de tiendas de accesorios tiene sucursales en Madrid, Sevilla y Valencia. La matriz \(V\) recoge las unidades vendidas en una semana (filas: fundas y cargadores; columnas: Madrid, Sevilla, Valencia). Los precios son 3 € por funda y 5 € por cargador.

1. Escribe la matriz \(V\) y el vector fila \(p\) de precios.
2. Calcula el producto \(pV\) e interpreta cada elemento.
3. ¿Cuánto ingresa la cadena en total esa semana?
4. En la semana siguiente las ventas suben un 20 %. Escribe la nueva matriz de ventas como \(1{,}2\,V\) y calcula los ingresos de Sevilla.

Una panadería de Zaragoza elabora pan de pueblo y pan integral. La matriz \(R\) da los kilos de harina y de masa madre por pieza (filas: pan de pueblo e integral; columnas: harina y masa madre). La matriz \(P\) da las piezas elaboradas en cada turno (filas: mañana y tarde; columnas: pan de pueblo e integral).

1. Con \(R=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\) y \(P=\begin{pmatrix}5&4\\0&7\end{pmatrix}\), calcula \(PR\).
2. Interpreta el elemento \((PR)_{12}\).
3. El kilo de harina cuesta 1 € y el de masa madre 2 €. Calcula con un producto de matrices el coste de materias primas de cada turno.
4. ¿Tiene sentido interpretar \(RP\)? Razónalo.

Cada año el 10 % de los habitantes de la ciudad \(A\) se traslada a la ciudad \(B\) y el 20 % de los de \(B\) se traslada a \(A\). Hoy viven 600 mil personas en \(A\) y 400 mil en \(B\) (se supone que no hay otros movimientos). La matriz de transición es \(T=\begin{pmatrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&\frac{4}{5}\end{pmatrix}\) y el vector de población es \(v=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\).

1. Explica el significado de cada columna de \(T\).
2. Calcula la población dentro de un año, \(v_1=Tv_0\).
3. Calcula \(v_2=Tv_1\) y comprueba que \(v_2=T^2v_0\).
4. Calcula el vector \(w\) que cumple \(Tw=w\) con \(w_A+w_B=1000\) (reparto estable).

Tres pueblos \(P_1,P_2,P_3\) están unidos por líneas de autobús de sentido único. La matriz \(G\) tiene \(g_{ij}=1\) si hay línea directa de \(P_i\) a \(P_j\) y \(0\) si no la hay. Se tiene \(G=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\).

1. Dibuja mentalmente el grafo y enumera las líneas directas.
2. Calcula \(G^2\) e interpreta el elemento \((G^2)_{13}\).
3. Calcula \(G^3\) y halla cuántos caminos de 3 tramos hay de \(P_2\) a \(P_2\).
4. ¿Cuántos viajes con exactamente 1 o 2 tramos permiten ir de \(P_1\) a \(P_3\)?

Se considera la matriz \(A_m=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&1&m\\3&0&5\end{pmatrix}\).

1. Calcula el determinante de \(A_m\) por la regla de Sarrus y factorízalo.
2. Discute el rango de \(A_m\) según los valores de \(m\).
3. Para \(m=3\) halla una relación entre las filas.

En la PAU es habitual que la incógnita aparezca a ambos lados. Se resuelve la ecuación \(XA=A+X\) con \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\).

1. Agrupa los términos con \(X\) y saca factor común por la izquierda: ¿qué ecuación queda?
2. Comprueba que \(A-I\) es invertible y calcula su inversa.
3. Halla \(X\) y comprueba la ecuación.

Se buscan todas las matrices \(X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) que cumplen \(AX=XA\) para \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\).

1. Calcula \(AX\) y \(XA\).
2. Iguala elemento a elemento y resuelve el sistema resultante.
3. Escribe la forma general de \(X\) y comprueba con un ejemplo numérico.
4. ¿Conmuta \(A\) con \(B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\)?

Una matriz cuadrada \(A\) cumple la relación \(A^2=A+2I\).

1. Demuestra que \(A\) es invertible y expresa \(A^{-1}\) en función de \(A\) e \(I\).
2. Comprueba la relación para \(A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}\).
3. Calcula \(A^{-1}\) con la fórmula del primer apartado y verifica que \(AA^{-1}=I\).
4. Calcula \(A^3\) sin hacer más productos que uno, usando la relación.

Para cifrar se asigna a cada letra un número (A=0, B=1, C=2, ..., N=13, Ñ=14, O=15, ..., Z=26, alfabeto de 27 letras). Las letras se agrupan por parejas, cada pareja es un vector columna \(v\) y se envía \(Kv\) módulo 27, con la clave \(K=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}\).

1. Comprueba que \(K\) es invertible y calcula \(K^{-1}\) en los números enteros.
2. Cifra la palabra HOLA (H=7, O=15, L=11, A=0).
3. Para descifrar se usa \(K^{-1}\) módulo 27. Reduce \(K^{-1}\) módulo 27 (suma 27 a los negativos).
4. Descifra el mensaje recibido XVGL y comprueba que se obtiene la palabra original.

Una fábrica de Eibar produce tres modelos de bicicleta: de paseo (\(P_1\)), de montaña (\(P_2\)) y eléctrica (\(P_3\)). La tabla indica lo que necesita cada unidad. Esta semana dispone de 110 kg de acero, 190 kg de aluminio y 130 horas de trabajo y quiere aprovecharlos por completo. Los beneficios por unidad son 30 €, 45 € y 50 €.

1. Llama \(x,y,z\) al número de bicicletas de cada modelo y escribe el sistema en la forma \(MQ=b\) con \(Q=(x,y,z)^t\).
2. Calcula \(|M|\) y justifica que el sistema tiene solución única.
3. Calcula \(M^{-1}\) por Gauss-Jordan o por adjuntos y resuelve el sistema.
4. Calcula el beneficio semanal con un producto de matrices.
5. Si el próximo mes dispone de un 10 % más de todos los recursos, ¿cuántas unidades se fabricarán de cada modelo?

Sea \(N=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}\). Se dice que una matriz es nilpotente si alguna potencia suya es la matriz nula.

1. Calcula \(N^2\) y deduce \(N^k\) para \(k\ge2\).
2. Comprueba que \((I+N)(I-N)=I\) y deduce \((I+N)^{-1}\).
3. Usa que \(I\) y \(N\) conmutan para demostrar que \((I+N)^n=I+nN\).
4. Calcula \((I+N)^{10}\).

Sean \(A\) y \(B\) dos matrices cuadradas simétricas. ¿Cuándo es simétrica la matriz \(AB\)?

1. Demuestra que \((AB)^t=BA\).
2. Deduce que \(AB\) es simétrica si y solo si \(AB=BA\).
3. Comprueba con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&3\end{pmatrix}\) que \(AB\) no es simétrica.
4. Construye una matriz \(C=2A+3I\) y comprueba que \(AC\) sí es simétrica.