Matrices – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: ejercicios para descargar en PDF

Dadas las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&4\\-2&5\end{pmatrix}\), calcula:

1. \(A+B\)
2. \(A-B\)
3. \(2A-3B\)
4. La dimensión de cada matriz.

Con las mismas matrices \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&4\\-2&5\end{pmatrix}\):

1. Calcula \(A\cdot B\).
2. Calcula \(B\cdot A\).
3. ¿Se cumple \(AB=BA\)?

Sean \(C=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&0\end{pmatrix}\) y \(D=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\3&-1\end{pmatrix}\).

1. Indica la dimensión de \(C\) y de \(D\).
2. ¿Se pueden calcular \(C\cdot D\) y \(D\cdot C\)? ¿Qué dimensión tienen?
3. Calcula \(C\cdot D\).

Sea \(M=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\) y \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).

1. Calcula la traspuesta \(M^t\) y su dimensión.
2. Calcula \(I\cdot M\).
3. Calcula \(M\cdot M^t\).

Calcula los determinantes siguientes y di cuáles de las matrices tienen inversa.

1. \(\begin{vmatrix}3&5\\2&4\end{vmatrix}\)
2. \(\begin{vmatrix}2&6\\1&3\end{vmatrix}\)
3. \(\begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&3\\2&0&1\end{vmatrix}\) (regla de Sarrus)

Sea \(A=\begin{pmatrix}3&5\\2&4\end{pmatrix}\).

1. Calcula \(|A|\).
2. Calcula \(A^{-1}\) con la fórmula \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).
3. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Resuelve la ecuación \(AX=B\) con \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}4&3\\1&2\end{pmatrix}\).

1. Comprueba que \(A\) tiene inversa.
2. Despeja \(X\).
3. Calcula \(A^{-1}\).
4. Calcula \(X\) y comprueba.

Resuelve \(XA+B=C\) con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}3&5\\2&4\end{pmatrix}\).

1. Despeja \(X\) (atención al orden del producto).
2. Calcula \(A^{-1}\).
3. Calcula \(C-B\) y \(X\).

Dos panaderías de Burgos venden tres productos: barras, magdalenas y empanadas. Las matrices recogen las unidades vendidas en un día y los precios (en euros).

1. Escribe la matriz de ventas \(V\) (\(2\times3\), una fila por panadería) y el vector de precios \(P\).
2. Calcula \(V\cdot P\) e interpreta cada elemento.
3. ¿Qué panadería ingresa más?
4. ¿Cuánto ingresan entre las dos en una semana de 6 días?

Una fábrica de muebles de Valencia produce tres modelos de estantería. La matriz \(M\) (filas: modelos; columnas: madera y tornillos) indica las unidades de cada materia prima por estantería, y la matriz \(C\) (filas: madera y tornillos; columnas: proveedor 1 y proveedor 2) da el precio de cada materia prima en cada proveedor.

1. Escribe las dimensiones de \(M\), de \(C\) y de \(M\cdot C\).
2. Calcula \(M\cdot C\).
3. Interpreta el elemento de la fila 2 y columna 1.
4. ¿Con qué proveedor sale más barato el modelo 3?

Cuatro barrios, numerados del 1 al 4, están unidos por líneas directas de autobús. La matriz \(G\) tiene un 1 en la posición \((i,j)\) si hay línea directa del barrio \(i\) al \(j\) y un 0 si no la hay.

Matriz: \(G=\begin{pmatrix}0&1&1&0\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\0&1&1&0\end{pmatrix}\)

1. Interpreta el elemento \(g_{23}=1\) y el elemento \(g_{14}=0\).
2. Calcula \(G^2\).
3. Interpreta el elemento \((G^2)_{14}\).
4. Interpreta el elemento \((G^2)_{11}\).

En una ciudad hay dos compañías, A y B. Cada mes el 80 % de los clientes de A se queda en A y el 20 % se pasa a B; el 70 % de los clientes de B se queda en B y el 30 % se pasa a A. Hoy A tiene 1 000 clientes y B tiene 500. La matriz de transición es \(T=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}\).

1. Explica qué significa cada fila de \(T\) y comprueba que suma 1.
2. Calcula el reparto de clientes dentro de un mes, \(v_1=v_0\cdot T\).
3. Calcula el reparto dentro de dos meses, \(v_2=v_1\cdot T\).
4. ¿Cambia el número total de clientes?

En una cantina universitaria de Granada se piden tres combinaciones de bocadillo (\(x\) €), refresco (\(y\) €) y postre (\(z\) €). La primera mesa pide 2 bocadillos, 1 refresco y 1 postre y paga 9 €; la segunda pide 1 bocadillo, 2 refrescos y 1 postre y paga 7 €; la tercera pide 1 bocadillo, 1 refresco y 3 postres y paga 10 €.

1. Escribe el sistema en forma matricial \(SX=T\).
2. Calcula \(|S|\) y comprueba que \(S\) tiene inversa.
3. Con \(S^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{7}&- \dfrac{2}{7}&- \dfrac{1}{7}\\- \dfrac{2}{7}&\dfrac{5}{7}&- \dfrac{1}{7}\\- \dfrac{1}{7}&- \dfrac{1}{7}&\dfrac{3}{7}\end{pmatrix}\), calcula \(X=S^{-1}T\).
4. Comprueba que los precios obtenidos cumplen las tres cuentas.

Se considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&k\\2&3\end{pmatrix}\).

1. Calcula \(|A|\) en función de \(k\).
2. ¿Para qué valores de \(k\) no existe \(A^{-1}\)?
3. Calcula \(A^{-1}\) para \(k=0\).
4. Calcula \(A^{-1}\) para \(k=1\).

Una tienda de ropa de Zaragoza tiene dos sucursales, Centro y Norte. La matriz \(V\) recoge las unidades vendidas en un mes (columnas: camisetas, pantalones, sudaderas). El precio de venta es \(p=(12,\ 30,\ 40)\) euros y el coste por unidad es \(c=(7,\ 18,\ 22)\) euros.

1. Calcula los ingresos de cada sucursal, \(V\cdot p^t\).
2. Calcula los costes de cada sucursal, \(V\cdot c^t\).
3. Calcula el beneficio de cada sucursal como \(V\cdot(p-c)^t\) y comprueba que coincide con ingresos menos costes.
4. ¿Qué beneficio total obtiene la empresa en el mes?
5. Si las ventas de ambas sucursales suben un 10 %, ¿cuál es el nuevo beneficio total?

En una pequeña economía hay dos sectores, agricultura (A) e industria (I). Para producir una unidad de A se consumen \(0{,}2\) unidades de A y \(0{,}4\) de I; para producir una unidad de I se consumen \(0{,}3\) de A y \(0{,}1\) de I. La matriz tecnológica es \(T=\begin{pmatrix}0{,}2&0{,}3\\0{,}4&0{,}1\end{pmatrix}\). La demanda externa es de 120 unidades de A y 180 de I. Si \(X\) es el vector de producción, se cumple \(X=TX+D\).

1. Despeja \(X\) y explica por qué hay que calcular \((I-T)^{-1}\).
2. Calcula \(I-T\) y su determinante.
3. Calcula \((I-T)^{-1}\).
4. Calcula la producción necesaria \(X=(I-T)^{-1}D\).
5. Comprueba el resultado y explica el significado.

Una persona invierte 10 000 € en tres fondos: un fondo seguro con rentabilidad del 2 %, uno mixto del 4 % y uno de renta variable del 6 %. Al cabo de un año ha ganado 380 €. Además, lo invertido en el fondo seguro es el doble de lo invertido en renta variable. Sean \(x\), \(y\) y \(z\) las cantidades en el seguro, el mixto y la renta variable.

1. Plantea el sistema de tres ecuaciones.
2. Escríbelo en forma matricial \(AX=B\).
3. Resuelve por sustitución o por Gauss.
4. Comprueba la solución y calcula la rentabilidad media de la cartera.

Con la matriz de transición del ejercicio de las compañías telefónicas, \(T=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}\), se quiere saber cómo se reparte el mercado a largo plazo. Un reparto \((a,\ b)\) con \(a+b=1\) es estable si \((a\ \ b)\,T=(a\ \ b)\).

1. Escribe las dos ecuaciones que resultan de \((a\ \ b)T=(a\ \ b)\).
2. Simplifica la primera y combínala con \(a+b=1\).
3. Resuelve y escribe el reparto estable.
4. Si hay 1 500 clientes en total, ¿cuántos tendrá cada compañía a largo plazo?
5. Comprueba que el reparto estable no cambia al multiplicarlo por \(T\).

Una persona tiene 200 € ahorrados y cada mes añade 50 €. Si \(S_n\) es el ahorro tras \(n\) meses, se cumple \(\begin{pmatrix}S_{n+1}\\1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}S_n\\1\end{pmatrix}\) con \(A=\begin{pmatrix}1&50\\0&1\end{pmatrix}\).

1. Comprueba que \(A\begin{pmatrix}S_n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}S_n+50\\1\end{pmatrix}\).
2. Calcula \(A^2\) y \(A^3\).
3. Deduce la expresión de \(A^n\).
4. Calcula el ahorro a los 12 meses con \(A^{12}\begin{pmatrix}200\\1\end{pmatrix}\).
5. ¿Cuántos meses hacen falta para llegar a 1 000 €?

Resuelve estos retos de matrices.

1. Para \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\), calcula \(A^2\) y \(A^4\).
2. Si \(A\) es de orden \(2\times2\) con \(|A|=4\), calcula \(|3A|\), \(|A^t|\) y \(|A^{-1}|\).
3. Halla \(x\) para que \(\begin{pmatrix}x&2\\3&x+1\end{pmatrix}\) no tenga inversa.
4. Con las matrices \(A\) y \(B\) del primer ejercicio, comprueba que \((A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2\).